Question

[Hày Cưi]

Cho (a,b)=1. Chứng minh rằng phân số \(\dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}\) tối giản

Answer 1

[tran nguyen bao quan]

Giả sử ab và (a²+ab+b²) không phải là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ước chung của ab và (a²+ab+b²)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab⋮d\\a^2+ab+b^2⋮d\end{matrix}\right.\)

Ta có ab⋮d và (a,b)=1 nên ta có 2 trường hợp

TH1:a⋮d\(\Leftrightarrow a^2⋮d\)

Mà ab⋮d và \(a^2+ab+b^2⋮d\)

Suy ra \(b^2⋮d\)\(\Leftrightarrow b⋮d\)(vô lý với (a,b)=1)

TH2:b⋮d\(\Leftrightarrow b^2⋮d\)

Mà ab⋮d và \(a^2+ab+b^2⋮d\)

Suy ra \(a^2⋮d\)\(\Leftrightarrow a⋮d\)(vô lý với (a,b)=1)

Vậy trái với giả sử\(\Rightarrow\)ab và (a²+ab+b²) là 2 số nguyên tố cùng nhau\(\Rightarrow\left(ab,a^2+ab+b^2\right)=1\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+ab+b^2}\) là phân số tối giản

Answer 2

[Akai Haruma]

Chỗ \(b^2\vdots d\Leftrightarrow b\vdots d\) là sai bạn nhé. Thử ngay $b=4$, $d=8$ thấy ngay.

Trong TH này bạn nên gọi $d$ là ước nguyên tố lớn nhất của $ab$ và $a^2+ab+b^2$

Khi đó ta mới có tính chất \(b^2\vdots d\Rightarrow b\vdots d\)