Cho hình vuông ABCD. Từ A kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. QR cắt PS tại H, M, N lần lượt là trung điểm của QR và PS.
CMR MN là đường trung trực của AC
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 4 2020
a) Xét tam giác vuông ABR và ADQ có:
AB = AD (gt)
Góc BAR + góc BAP = 90 độ
Góc DAQ + góc BAP = 90 độ
=> Góc BAR = Góc DAQ
=> Tam giác vuông ABR = tam giác vuông ADQ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
=> AR = AQ (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác AQR cân tại A.
CMTT ta có tam giác ADS = tam giác ABP
=> AS = AP => Tam giác APS cân tại A.
b) Tam giác AQR cân tại A => Trung tuyến AM đồng thời là đường cao.
=> AM vuông góc với QR => Góc AMH = 90 độ
Tương tự: Tam giác APS cân tại A => Trung tuyến AN đồng thời là đường cao.
=> AN vuông góc với SP => góc ANP = 90 độ hay góc ANH= 90 độ.
Tam giác AQR vuông cân tại A => Góc AQR = góc ARQ = 45 độ => Góc PQH = 45 độ.
Tam giác APS vuông cân tại A => góc ASP = góc APS = 45 độ => góc QPH = 45 độ (đối đỉnh).
Xét tam giác PHQ có: Góc PQH + góc QPH = 45 độ + 45 độ = 90 độ
=> Tam giác PHQ vuông cân tại H => PH vuông góc với PQ
=> góc NHM = 90 độ
Xét tứ giác AMHN có: Góc AMH = góc ANH = góc NHM = 90 độ
=> AMHN là hình chữ nhật (dhnb)
c) Xét tam giác SQR có:
BC vuông góc CD => RC vuông góc SQ => RC là đường cao.
AP vuông góc AR => QA vuông góc RS => QA là đường cao.
Mà RC cắt QA tại P
Vậy P là trực tâm tam giác SQR.
d) Tam giác ANP vuông tại A có trung tuyến AN => AN = SP/2
Tam giác CSP vuông tại C có trung tuyến CN => CN = SP/2
=> AN = CN => N thuộc trung trực của AC.
CMTT ta có MA = MC => M thuộc trung trực của AC.
Vậy MN là trung trực của AC.
e) Ta có BA = BC (gt) => B thuộc trung trực của AC.
Mà MN là trung trực của AC (cmt) => B thuộc MN
Tương tự DA = DC (gt) => D thuộc trung trực của AC.
Mà MN là trung trực của AC (cmt) => D thuộc MN
Vậy M, B, N, D thẳng hàng.
1 tháng 12 2017
a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=900 (1)
^DAQ+^DAR=900 (Do PQ vuông góc AR) (2)
Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ
Xét \(\Delta\)ABR và \(\Delta\)ADQ:
^ABR=^ADQ=900
AB=AD => \(\Delta\)ABR=\(\Delta\)ADQ (g.c.g)
^BAR=^DAQ
=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:
AR=AQ, ^QAR=900 => \(\Delta\)AQR là tam giác vuông cân tại A.
Tương tự: \(\Delta\)ADS=\(\Delta\)ABP (g.c.g)
=> AS=AP, ^PAS=900 => \(\Delta\)APS vuông cân tại A.
b) \(\Delta\)AQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)
Tương tự: AN vuông góc với PS (4)
Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do \(\Delta\)AQR...) => ^MAR=450
AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=450
=> ^MAR+^SAN=^MAN=900 (5)
Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)
c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=900 => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS
Xét \(\Delta\)SQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H
=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).
d) Ta thấy \(\Delta\)PCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.
Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN
=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)
Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM
Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM
=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7)
Từ (6) và (7) => MN là trung trực của AC (đpcm). (8)
e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường
=> BD là trung trực của AC (9)
Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).
KT
10 tháng 5 2018
a) Xét \(\Delta RAB\)và \(\Delta QAD\)có:
\(\widehat{RAB}=\widehat{QAD}\) (cùng phụ với góc BAQ)
\(AB=AD\) (gt)
\(\widehat{RBA}=\widehat{QDA}=90^0\)
suy ra: \(\Delta RAB=\Delta QAD\) (g.c.g)
\(\Rightarrow\) \(AR=AQ\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AQR\)vuông cân tại A
chứng minh tương tự được: \(\Delta APS\)vuông cân tại A
b) \(\Delta AQR\)cân tại A, AM là trung tuyến => AM đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\)\(\widehat{AMH}=90^0\) (1)
\(\Delta ASP\)cân tại A, AN là trung tuyến => AN đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ANH}=90^0\) (2)
\(\Delta RSP\) có \(PA\perp RS;\) \(SC\perp RP;\) \(PA\Omega SC=Q\)
\(\Rightarrow\)\(Q\)là trực tâm \(\Delta RSP\)
\(\Rightarrow\)\(RQ\perp PS\)
hay \(RH\perp PS\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{RHS}=90^0\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(AMHN\)là hình chữ nhật
c) RC là đường cao \(\Delta SQR\)
SH là đường cao \(\Delta SQR\)
mà \(RC\Omega SH=P\)
\(\Rightarrow\)P là trực tâm \(\Delta SQR\)
d) \(\Delta ARQ\) vuông tại A có AM là trung tuyến
\(\Rightarrow\)\(AM=\frac{1}{2}RQ\)
\(\Delta RCQ\) vuông tại C có CM là trung tuyến
\(\Rightarrow\)\(CM=\frac{1}{2}RQ\)
suy ra: \(AM=CM\)
\(\Rightarrow\)\(M\)thuộc trung trực AC
chứng minh tương tự đc: N thuộc trung trực AC
suy ra: MN là trung trực AC
e) Ta có: MN là trung trực AC
BD là trung trực AC (do ABCD là hình vuông)
=> M, B, N, D thẳng hàng
p/s: hình tự vẽ
