Question

[Hày Cưi]

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc tia đối của tia CB, điểm N thuộc tia đối của tia DC sao cho DN=BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F. CMR:

a, Tứ giác ANFM là hình vuông

b, Điểm F nằm trên đường phân giác của góc MCN

c, AC vuông góc với CF

d, Ba điểm B,D,O thẳng hàng (O là trung điểm của AF)

e, Khi M di chuyển trên tia Cx thì O di chuyển trên đường nào?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ADN có: ^ABM = ^ADN (=90⁰); AB=AD; BM=DN  => \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADN (c.g.c)

=> AM=AN (2 canh tương ứng);  ^BAM = ^DAN (2 góc tương ứng). Mà ^BAM + ^DAM = 90⁰

=> ^DAN + ^DAM = ^MAN = 90⁰ => AM vuông góc AN

Ta có: MF//AN; NF//AM; AM vuông góc AN nên ^MAN = ^AMF = ^ANF = 90⁰

Do đó: Tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Lại có: AM=AN (cmt) => Tứ giác ANFM là hình vuông (đpcm).

b) Gọi I và J lần lượt là hình chiếu của F trên 2 đường thẳng CD và BC

Tứ giác ANFM là hình vuông => FM=FN

Xét tứ giác CNFM có: ^MCN = ^MFN = 90⁰ => ^FNC + ^CMF = 180⁰ => ^FNC = ^FMJ hay ^FNI = ^FMJ

Xét \(\Delta\)FIN và \(\Delta\)FJM có: ^FIN = ^FJM (=90⁰); FN=FM; ^FNI = ^FMJ

=> \(\Delta\)FIN = \(\Delta\)FJM (Ch.gn) => FI = FJ (2 cạnh tương ứng)

Xét ^MCN: Có FI và FJ là k/c từ điểm F tới 2 cạnh của góc này; FI=FJ

=> F nằm trên đường phân giác của ^MCN (đpcm).

c) Gọi giao điểm của tia AD và CF là E.

CF là phân giác ^MCN => ^FCN = ^MCN/2 = 45⁰ => ^FCN = ^ACD = 45⁰ 

=> \(\Delta\)ACE vuông tại C có đường phân giác CD. Mà CD vuông góc AE

=> \(\Delta\)ACE vuông cân tại C = >CD đồng thời là đường trung tuyến => D là trung điểm AE

Suy ra: OD là đường trung bình \(\Delta\)FAE => OD // EF hay OD // CF (1)

Dễ c/m: BD // CF (Do ^DBC + ^BCF = 45⁰ + 135⁰ = 180⁰)                  (2)

Từ (1) và (2) => 3 điểm B;D;O thẳng hàng (đpcm).

d) Ta thấy: B;D;O là 3 điểm thẳng hàng; BD cố định nên O luôn thuộc đường thẳng BD cố định khi M di động trên Cx.

Answer 2

[Hày Cưi]

câu e đâu bạn :v