Question

[Cố Gắng Hơn Nữa]

1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) sao cho : \(5^x+12^x=y^2\)

2) Chứng minh số \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\)là số chẵn

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Ta thấy: \(y^2=5^x+12^x\equiv 5^x\equiv (-1)^x\pmod 3\)

Nếu $x$ lẻ suy ra \(y^2\equiv (-1)^x\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)

Điều này vô lý do một số chính phương chia $3$ chỉ có thể dư $0,1$

Do đó $x$ chẵn. Đặt \(x=2k\)

\(\Rightarrow 5^{2k}+12^{2k}=y^2\)

\(\Leftrightarrow (y-12^k)(y+12^k)=5^{2k}\)

Khi đó tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} y-12^k=5^m\\ y+12^k=5^n\end{matrix}\right.(m+n=2k)\)

\(\Rightarrow 2.12^k=5^n-5^m\)

Vì \(2.12^k\not\vdots 5\Rightarrow 5^n-5^m\not\vdots 5\). Do đó bắt buộc một trong hai số $m,n$ bằng $0$

Vì cả hai đều là số tự nhiên mà $m< n$ nên $m=0$

Do đó: \(2.12^k=5^n-1=5^{2k}-1=25^k-1(*)\)

Nếu \(k=0\) thì vô lý

Nếu \(k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=13\) (thỏa mãn)

Nếu \(k\geq 2\) : \(25^k-1=(24+1)^k-1>24^k=2^k.12^k>2.12^k\) (trái với $(*)$)

Vậy \((x,y)=(2,13)\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 2:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2+\sqrt{3}=a\\ 2-\sqrt{3}=b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=1\\ a+b=4\end{matrix}\right.\)

Ta sẽ chứng minh \(a^n+b^n\) luôn chẵn với mọi \(n\in\mathbb{N}\) bằng quy nạp

Thật vậy:

\(n=0\Rightarrow a^n+b^n=2\) chẵn

\(n=1\Rightarrow a^n+b^n=a+b=4\) chẵn

....

Giả sử điều ta nhận định đúng đến \(n=k\) .

Ta chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy:

\(a^{k+1}+b^{k+1}=(a^k+b^k)(a+b)-a^kb-ab^k\)

\(=4(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})\)

\(=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\)

Vì nhận định đúng đến $n=k$ nên \(a^{k-1}+b^{k-1}\) chẵn

\(\Rightarrow a^{k+1}+b^{k+1}=4(a^k+b^k)-(a^{k-1}+b^{k-1})\) chẵn

Ta có đpcm

Thay \(n=2016\) thì từ kết quả vừa chứng minh suy ra \((2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}=a^{2016}+b^{2016}\) chẵn