Cho đa thức \(P\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)có các hệ số \(a,b,c,d\in Z\)
Biết rằng: \(P\left(x\right)⋮5\left(\forall x\right)\) Chứng minh rằng: \(a,b,c,d⋮5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 3 2017
Câu thay từng giá trị của P(0) ; đến P(1) ; ...rồi trừ đi khi nào ra 2a chia hết cho 5 thì thôi
22 tháng 2 2019
vì p(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên => p(0), p(1),p(-1),p(2) chia hết cho 5
có p(0) chí hết cho 5
=>a.03+b.02+c.0+d chia hết cho 5
=> d chia hết cho 5
có p(1) chia hết cho 5
=>a.13+b.12+c.1+d chia hết cho 5
=>a+b+c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>a+b+c chia hết cho 5 (1)
có p(-1) chia hết cho 5
=> a.(-1)3+b.(-1)2+c.(-1)+d chia hết cho 5
=>-a+b-c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>-a+b-c chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => (a+b+c) + (-a+b-c) chia hết cho 5
=> 2b chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=> b chia hết cho 5
mà a+b+c chia hết cho 5
=> a+c chia hết cho 5 (3)
có p(2) chia hết cho 5
=>a.23+b.22+c.2+d chia hết cho 5
=> 8a + 4b+2c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5, 4b chia hết cho 5(vì b chí hết cho 5)
=>8a+2c chia hết cho 5
=>2(4a+c) chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=>4a+c chia hết cho 5 (4)
Từ (3) và (4) => (4a+c)-(a+c) chia hết cho 5
=> 3a chia hết cho 5
ma ucln(3,5)=1
=> a chia hết cho 5
mà a+c chia hết cho 5
=> c chia hết cho 5
Vậy a,b,c,d chia hết cho 5
22 tháng 2 2019
vì p(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên => p(0), p(1),p(-1),p(2) chia hết cho 5
có p(0) chí hết cho 5
=>a.03+b.02+c.0+d chia hết cho 5
=> d chia hết cho 5
có p(1) chia hết cho 5
=>a.13+b.12+c.1+d chia hết cho 5
=>a+b+c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>a+b+c chia hết cho 5 (1)
có p(-1) chia hết cho 5
=> a.(-1)3+b.(-1)2+c.(-1)+d chia hết cho 5
=>-a+b-c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5
=>-a+b-c chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => (a+b+c) + (-a+b-c) chia hết cho 5
=> 2b chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=> b chia hết cho 5
mà a+b+c chia hết cho 5
=> a+c chia hết cho 5 (3)
có p(2) chia hết cho 5
=>a.23+b.22+c.2+d chia hết cho 5
=> 8a + 4b+2c+d chia hết cho 5
mà d chia hết cho 5, 4b chia hết cho 5(vì b chí hết cho 5)
=>8a+2c chia hết cho 5
=>2(4a+c) chia hết cho 5
mà ucln(2,5)=1
=>4a+c chia hết cho 5 (4)
Từ (3) và (4) => (4a+c)-(a+c) chia hết cho 5
=> 3a chia hết cho 5
ma ucln(3,5)=1
=> a chia hết cho 5
mà a+c chia hết cho 5
=> c chia hết cho 5
T
7 tháng 5 2018
p(x)=ax3+bx2+cx+d
p(x)⋮5 ∀ x
=> p(5)⋮5=> (a53+b52+c5+d)⋮5
=> d⋮5
=> (ax3+bx2+cx)⋮5
=>p(1)=a13+b12+c1[p(1)⋮5]
=a+b+c
p(-1)=a(-1)3+b(-1)2+c(-1)[p(-1)⋮5]
=-a+b-c
=>p(1)+p(-1)=(a+b+c)+(-a+b-c)
=b⋮5
=> (ax3+cx)⋮5
ax3+cx
=x(ax2+c)⋮5
=> ax2+c⋮5
Với x=5=> a.52+c⋮5
=> c⋮5
=> ax2⋮5
=>a⋮5
Vậy a,b,c,d ⋮5
10 tháng 4 2020
Vì \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\) với mọi x
=> Ta có:
Với x = 0 => \(P\left(0\right)=c⋮5\)
Với x = 1 => \(P\left(1\right)=a+b+c⋮5\Rightarrow a+b⋮5\)
Với x = -1 => \(P\left(-1\right)=a-b+c⋮5\Rightarrow a-b⋮5\)
=> ( a + b ) + ( a - b ) \(⋮\)5
=> 2a \(⋮\)5
=> a \(⋮\)5
=> b \(⋮\)5
TV
4 tháng 4 2017
Theo bài ra ta có:
\(P(0)=d\\P(1)=a+b+c+d\\P(-1)=-a+b-c+d\\P(2)=8a+4b+2c+d\)
đều là các số chia hết cho 5
Từ đó ta thu được:
- \(d=P(0)\ \vdots \ 5\)
- \(2b=P(1)+P(-1)-2d\ \vdots \ 5 \ \Rightarrow b\ \vdots \ 5\)
- \(6a=P(2)+2P(-1)-5b-3d\ \vdots \ 5 \ \Rightarrow \ a\ \vdots \ 5 \)
- \(c=P(1)-a-b-d \ \vdots \ 5\)
Ta được điều phải chứng minh!
LA
10 tháng 3 2018
Ta có:
\(Q\left(1\right)=a+b+c+d\Rightarrow a+b+c⋮3\left(1\right)\)
\(Q\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮3\left(2\right)\)
Cộng (1) với (2), ta có: \(2b+2d⋮3\)
Mà \(d⋮3\Rightarrow2d⋮3\)
\(\Rightarrow2b⋮3\Rightarrow b⋮3\)
\(Q\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮3\)
\(\Rightarrow8a+2c⋮3\)(vì \(4b+d⋮3\))
\(\Rightarrow6a+2a+2c⋮3\)
\(\Rightarrow6a+2\left(a+c\right)⋮3\)
Mà \(a+c⋮3\left(a+b+c⋮3,b⋮3\right)\)
\(\Rightarrow6a⋮3\)
\(\Rightarrow a⋮3\)
\(\Rightarrow c⋮3\)
\(d⋮3\left(gt\right)\)
