cmr $\dfrac{1}{4a^2 b^2 c^2} \dfrac{1}{a^2 4b^2 c^2} \dfrac{1}{a^2 b^2 4c^2}< =\dfrac{1}{2}$

KK

kookie kookie

8 tháng 2 2018

cmr $\dfrac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+4c^2}< =\dfrac{1}{2}$

#Toán lớp 10

0

H

Huyền

23 tháng 1 2018

cho a,b,c>0;a+b+c=3.CMR:

$\dfrac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{4b^2+a^2+c^2}+\dfrac{1}{4c^2+b^2+a^2}$≤1/2

#Toán lớp 8

0

N

Neet

4 tháng 4 2017

1)Cho 3 số a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc. tìm Max $\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}+\dfrac{11b+4c}{4b^2-bc+2c^2}+\dfrac{11c+4a}{4c^2-ca+2a^2}$ 2) cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1.CMR $\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{1}{a^2+b^5+c^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^5}\le\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$ 3) cho a,b,c>0 thỏa mãn...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

3

LF

Lightning Farron

6 tháng 4 2017

Bài 1:

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$ ta tính được giá trị là $9$

Ta sẽ chứng minh nó là GTLN

Thật vậy ta cần chứng minh

$\Sigma\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}\le\dfrac{3\left(ab+ac+bc\right)}{abc}$

$\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{3}{a}-\dfrac{11a+4b}{4a^2-ab+2b^2}\right)\ge0$

$\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-6b\right)}{a\left(4a^2-ab+2b^2\right)}\ge0$

$\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-6b\right)}{a\left(4a^2-ab+2b^2\right)}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\right)\ge0$

$\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{ab\left(4a^2-ab+2b^2\right)}\ge0$ (luôn đúng)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\left(a^5+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{1}{a}+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2$

$\Rightarrow\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}$

Tương tự rồi cộng theo vế ta có:

$Σ\dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\le\dfrac{Σ\dfrac{1}{a}+2Σa^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}$

Ta chứng minh $Σ\dfrac{1}{a}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ - BĐT cuối đúng

Vậy ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 3:

Từ $a+b+c=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=3$

Đặt $\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)$$\Rightarrow xy+yz+xz=3$ và BĐT cần chứng minh là

$x^3+y^3+z^3\ge3$. Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$x^3+x^3+1\ge3\sqrt[3]{x^3\cdot x^3\cdot1}=3x^2$

Tương tự có: $y^3+y^3+1\ge3y^2;z^3+z^3+1\ge3z^2$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

$2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)$

Lại có BĐT quen thuộc $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$

$\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)=9\left(xy+yz+xz=3\right)$

$\Rightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge9\Rightarrow2\left(x^3+y^3+z^3\right)\ge6$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge3$. BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

T/b:Vâng, rất giỏi :GT8:

Đúng(0)

LF

Lightning Farron

4 tháng 4 2017

lần sau đăng từng câu 1 dc ko bn :)

Đúng(0)

HH

Ha Hoang Vu Nhat

9 tháng 4 2017

cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = $\dfrac{3}{2}$

cmr: $\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}$

#Toán lớp 8

2

LF

Lightning Farron

9 tháng 4 2017

dạng này chắc chắc là phải dùng AM-GM ngược dấu rồi :)

Ta có:

$\dfrac{1+b}{1+4a^2}=1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a^2+1}\ge1+b-\dfrac{4a^2\left(b+1\right)}{4a}=1+b-a\left(b+1\right)$

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

$\dfrac{1+c}{1+4b^2}\ge1+c-b\left(c+1\right);\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge1+a-c\left(a+1\right)$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

$VT=\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+c^2}$

$\ge3+\left(a+b+c\right)-\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)$

$=3-\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}=VP$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$

Đúng(0)

KK

Kuro Kazuya

9 tháng 4 2017

$VT=\left(\dfrac{a}{1+4c^2}+\dfrac{b}{1+4a^2}+\dfrac{c}{1+4b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{1+4c^2}+\dfrac{1}{1+4a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}\right)$

$VT=\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)+3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)$

Xét $\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2a}{4c}=ca\\\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\\\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2c}{4b}=bc\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\dfrac{3}{2}-\left(\dfrac{4c^2a}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2b}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2c}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)$ (1)

Xét $3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+4c^2\ge2\sqrt{4c^2}=4c\\1+4a^2\ge2\sqrt{4a^2}=4a\\1+4b^2\ge2\sqrt{4b^2}=4b\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4c^2}{1+4c^2}\le\dfrac{4c^2}{4c}=c\\\dfrac{4a^2}{1+4a^2}\le\dfrac{4a^2}{4a}=a\\\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\le\dfrac{4b^2}{4b}=b\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow3-\left(\dfrac{4c^2}{1+4c^2}+\dfrac{4a^2}{1+4a^2}+\dfrac{4b^2}{1+4b^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}$ (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}-\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow VT\ge3-\left(ab+bc+ca\right)$ (3)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

$\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$

$\Rightarrow\dfrac{3}{4}\ge ab+bc+ca$

$\Rightarrow3-\dfrac{3}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)$

$\Rightarrow\dfrac{9}{4}\le3-\left(ab+bc+ca\right)$ (4)

Từ (3) và (4)

$\Rightarrow VT\ge\dfrac{9}{4}$

$\Leftrightarrow\dfrac{1+b}{1+4a^2}+\dfrac{1+c}{1+4b^2}+\dfrac{1+a}{1+4c^2}\ge\dfrac{9}{4}$ (đpcm)

Dấu " = " xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$

Đúng(0)

VQ

Văn Quyết

26 tháng 12 2018

Cho a,b,c > 0 và abc=1. CMR :$\dfrac{a^4b}{a^2+1}+\dfrac{b^4c}{b^2+1}+\dfrac{c^4a}{c^2+1}$$\ge\dfrac{3}{2}$.
Giúp mình với

#Toán lớp 10

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

27 tháng 12 2018

Lời giải:

Do $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:$(a,b,c)=\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x}\right)$

Bài toán trở thành:

Cho $x,y,z>0$. CMR: $\frac{x^4}{yz(x^2+y^2)}+\frac{y^4}{xz(y^2+z^2)}+\frac{z^4}{xy(z^2+x^2)}\geq \frac{3}{2}$

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{x^4}{yz(x^2+y^2)}+\frac{y^4}{xz(y^2+z^2)}+\frac{z^4}{xy(z^2+x^2)}=\frac{x^6}{x^2yz(x^2+y^2)}+\frac{y^6}{y^2xz(y^2+z^2)}+\frac{z^6}{z^2xy(z^2+x^2)}$

$\geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{x^2yz(x^2+y^2)+y^2xz(y^2+z^2)+z^2xy(z^2+x^2)}=\frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{xyz(x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2)}(*)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^3+y^3+z^3\geq 3xyz\Rightarrow \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq xyz(1)$

Và:

$x^3+y^3+y^3\geq 3xy^2; y^3+z^3+z^3\geq 3yz^2; z^3+x^3+x^3\geq 3zx^2$

Cộng theo vế và rút gọn $\Rightarrow x^3+y^3+z^3\geq xy^2+yz^2+zx^2$

$\Rightarrow 2(x^3+y^3+z^3)\geq x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{2}{3}(x^3+y^3+z^3)^2\geq xyz(x^3+y^3+z^3+xy^3+yz^2+zx^2)(**)$

Từ $(*);(**)\Rightarrow \frac{x^4}{yz(x^2+y^2)}+\frac{y^4}{xz(y^2+z^2)}+\frac{z^4}{xy(z^2+x^2)}\geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{\frac{2}{3}(x^3+y^3+z^3)^2}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$

Đúng(0)

NV

Nguyễn Văn Phong

27 tháng 5 2017

cho a,b,c dương và $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=3a^4b^4c^4$.chứng minh:
$\dfrac{1}{a^3b+2c^2+1}+\dfrac{1}{b^3c+2a^2+1}+\dfrac{1}{c^3a+2b^2+1}\le\dfrac{3}{4}$

#Toán lớp 9

2