tìm bộ 3 số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn x3+y3+3xyz=z3=2(2x+2y)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HM
0
LN
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2023
\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{y+z}=\dfrac{y}{z}\Rightarrow xz=y^2\)
\(\left(y+2\right)\left(4xz+6y-3\right)=n^2\)
\(\Rightarrow\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)=n^2\)
Gọi \(d=ƯC\left(y+2;4y^2+6y-3\right)\)
\(\Rightarrow4y^2+6y-3-\left(y+2\right)\left(4y-2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) nguyên tố cùng nhau
Mà \(\left(y+2\right)\left(4y^2+6y-3\right)\) là SCP \(\Rightarrow y+2\) và \(4y^2+6y-3\) đồng thời là SCP
\(\Rightarrow4y^2+6y-3=k^2\)
\(\Leftrightarrow\left(4y+3\right)^2-21=\left(2k\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(4y+3-2k\right)\left(4y+3+2k\right)=21\)
Giải pt ước số trên ra \(y=2\) là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn
Thế vào \(xz=y^2=4\Rightarrow\left(x;z\right)=\left(1;4\right);\left(4;1\right);\left(2;2\right)\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;4\right);\left(4;2;1\right);\left(2;2;2\right)\)
BM
2
22 tháng 11 2019
\(x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2-12xy+8x-16y+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2-12xy+9y^2\right)-y^2+8x-16y+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+4\left(2x-3y\right)+4-\left(y^2-4y+4\right)+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2\right)^2-\left(y-2\right)^2+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2-y+2\right)\left(2x-3y+2+y-2\right)=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-4y+4\right)\left(2x-2y\right)=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y+2\right)\left(x-y\right)=-\frac{3}{2}\)
Đến đây ta thấy vô lý
P/S:is that true ?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 11 2021
\(2x^2+2y^2-5xy+x-2y+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)+x-2y+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y+1\right)=-3\)
| x-2y | -3 | -1 | 1 | 3 |
| 2x-y+1 | 1 | 3 | -3 | -1 |
| x | 1 | 5/3 | -3 | -7/3 |
| y | 2 | 4/3 | -2 | -8/3 |
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\) là bộ nghiệm nguyên dương duy nhất
CN
2
13 tháng 1 2020
\(\hept{\begin{cases}x+y=z\left(1\right)\\x^3+y^3=z^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta thế (1) vào (2) : \(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^2\)
<=> \(\left(x+y\right)^2-3xy=\left(x+y\right)\)
Đặt: \(x+y=S;xy=P\)vì x, y nguyên dương => S; P nguyên dương
ĐK để tồn tại nghiệm x, y là: \(S^2\ge4P\)
Có: \(S^2-3P=S\)
=> \(S+3P\ge4P\)<=> \(S\ge P\)
=> \(S^2-S=3P\le3S\)
<=> \(0\le S\le4\)
+) S = 0 loại
+) S = 1 => P = 0 loại
+) S = 2 => P =3/2 loại
+) S = 3 => P = 2
=> \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}}\)<=> x =2; y =1 hoặc x = 1; y =2
=> (x; y; z ) = ( 1; 2; 3) thử lại thỏa mãn
hoặc (x; y; z) = ( 2; 1; 3 ) thử lại thỏa mãn
+) S = 4 => P = 4
=> \(\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=4\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)
=> (x; y; z ) = ( 2; 2; 4) thử lại thỏa mãn.
Vậy: có 3 nghiệm là:....
KC
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Trừ vế cho vế:
\(xy+z-\left(x+yz\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-1\right)-z\left(y-1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-z\right)\left(y-1\right)=1\)
Do \(y\) nguyên dương \(\Rightarrow y\ge1\Rightarrow y-1\ge0\Rightarrow x-z>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-z=1\\y-1=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\z=x-1\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x+yz=2020\)
\(\Rightarrow x+2\left(x-1\right)=2020\)
\(\Leftrightarrow3x=2022\Rightarrow x=674\Rightarrow z=673\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(674;673;2\right)\)
TT
1
WR
24 tháng 6 2019
Áp dụng hđt: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)Ta có: \(x^3+y^3+3xyz=z^3\Leftrightarrow x^3+y^3+3xyz-z^3=0\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz\right)=0\)
Th1: \(x+y-z=0\Leftrightarrow x+y=z\Rightarrow z^3=\left(2x+2y\right)^2=4z^2\Leftrightarrow z=4\)(do z là số nguyen dương)
\(\Rightarrow x+y=4\)\(\Rightarrow\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,3\right)\left(2,2\right)\left(3,1\right)\right\}\)
\(TH2:x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz=0\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(y+z\right)^2}{2}=0\)(loại vì x,y,z nguyên dương nên VT>0 )
Vậy...
Lời giải:
Áp dụng công thức hằng đẳng thức:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\) ta có:
\(x^3+y^3+3xyz=z^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+(-z)^3-3xy(-z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y-z)(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz)=0\)
TH1: \(x+y-z=0\)
\(\Leftrightarrow z=x+y\)
Thay vào: \(z^3=2(2x+2y)^2=8(x+y)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3=8(x+y)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2(x+y-8)=0\)
Do x,y nguyên dương nên \((x+y)^2\neq 0\Rightarrow x+y-8=0\Rightarrow x+y=8\Rightarrow z=8\)
\(x+y=8\Rightarrow (x,y)=(1,7); (2;6); (3;5); (4;4)\) và các hoán vị tương ứng
TH2: \(x^2+y^2+z^2-xy+yz+xz=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}{2}=0\)
Vì \((x-y)^2; (y+z)^2; (z+x)^2\geq 0\Rightarrow (x-y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ y+z=0\\ z+x=0\end{matrix}\right.\) (vô lý do x,y,z nguyên dương)
Vậy \((x,y,z)=(1;7;8); (2;6;8); (3;5;8); (4;4;8); (5;3;8); (6;2;8); (7;1;8)\)