Question

[mai khac quang]

cho tam giac ABC nội tiếp đường tròn (O) ba đường phân giác trong của các góc A,B,C kéo dài lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tại A₁,B₁,C₁.đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC,AC,AB tại A₂,B₂,C₂.

a) chứng minh rằng : véc tơ OI = véc tơ OA₁ + véc tơ OB₁ +véc tơ OC₁

b) chứng minh đường thẳng OI chính là đường thẳng Ơ-le của tam giác A₂B₂C₂.

Answer 1

[Tạ Duy Phương]

ở đây ko có lớp 10 đâu.

Answer 2

[Thầy Giáo Toán]

Bổ đề: Nếu tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O và trực tâm H thì \(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\).   

Chứng minh: Xét hiệu \(\vec{s}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}-\vec{OH}=\left(\vec{OA}+\vec{OB}\right)+\vec{HA}\),  có phương vuông góc với BC, tương tư vector s có phương vuông góc với CA. vậy vector s vuông góc với hai phương khác nhau nên là vector không.

Bằng cách tính góc, ta có \(IA_1\perp B_1C_1,IB_1\perp A_1C_1\to\)  I chính là trực tâm tam giác A1B1C1. Từ đó áp dụng bổ đề 1, cho ta ngay a)

b)  Ta có  \(\vec{OA_1}=\frac{R}{r}\vec{IA_2},\vec{OB_1}=\frac{R}{r}\vec{IB_2},\vec{OC_1}=\frac{R}{r}\vec{IC_2}\to\vec{OA_1}+\vec{OB_1}+\vec{OC_1}\)

\(=\frac{R}{r}\left(\vec{IA_2}+\vec{IB_2}+\vec{IC_2}\right)=3\frac{R}{r}\vec{IG'}\)  trong đó G' là trọng tâm tam giác A2B2C2. Theo câu a, ta suy ra véc tơ OI bằng 3R/r lần véc tơ IG', do đó điểm O nằm trên đường thẳng IG'. Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A2B2C2 và G' là trọng tâm nên IG' chính là đường thẳng Ơ-le của tam giác A2B2C2. Suy ra OI chính là đường thẳng Ơ le của tam giác A2B2C2