Question

[Charlotte Yun Amemiya]

Cho ABCD là hình bình hành. Trên AB lấy E, trên CD lấy F sao cho AE=CF. Trên AD lấy H, trên BC lấy G sao cho DH=BG. Chứng minh:

a) EGFH là hình bình hành

b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy

Answer 1

[Nữ Thần Mặt Trăng]

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat{HAE}=\widehat{GCF}\) và \(AD=BC\).

Mà \(DH=BG\Rightarrow AD-DH=BC-BG\) hay \(AH=CG\).

Xét \(\triangle AHE\) và \(\triangle CGF\) có:
\(+AE=CF \ (gt)\)

\(+\widehat{HAE}=\widehat{GCF} \ (cmt)\)

\(+AH=CG \ (cmt)\)

\(\Rightarrow \triangle AHE=\triangle CGF \ (c.g.c)\)

\(\Rightarrow HE=GF\).

Cmtt: \(EG=FH\).

Suy ra tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành.

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC\).

Tứ giác \(AECF\) có \(AE // CF; AE=CF\) nên là hình bình hành \(\Rightarrow\) Hai đường chéo \(AC\) và \(EF\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà \(O\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow O\) là trung điểm của \(EF\).

Tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(EF\) và \(GH\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\Rightarrow O\) là trung điểm của \(GH\).

Vậy các đường thẳng \(AC, BD, EF, GH\) đồng quy tại \(O\).

Answer 2

[Phan Hà Thanh]

Cmtt là gì vậy cậu?