giúp em với em đang cần gấp ạ
Cho biểu thức P =a4+b4-ab,với a,b là các số thực thoả mãn
a2+b2+ab=3.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 1 2021
\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)
\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 8 2021
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)
Lại có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\)
\(P_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(a+b+c=0\)
CM
21 tháng 9 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a
Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3
Vì a , b , c ≥ 1 , nên ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b
Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a
Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6
Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18
⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
3 tháng 6 2019
ta có \(P=a^4+b^4+2-2-ab\)
AD BĐT cô si ta có
\(a^4+1\ge2a^2\) dấu = khi a=1
\(b^4+1\ge2b^2\) dấu = khi b =1
Khi đó \(P\ge2a^2+2b^2-2-ab\)
\(P\ge2\left(a^2+b^2+ab\right)-2-3ab\)
\(P\ge4-3ab\)( Thay \(a^2+b^2+ab=3\)vào ) (1)
mặt khác \(a^2+b^2\ge2ab\)
khi đó \(a^2+b^2+ab=3\ge2ab+ab=3ab\)
=> \(ab\le1\) (2)
từ (1) và (2)
ta có \(P\ge4-3ab\ge4-3=1\)
vậy P đạt GTNN là 1 khi a=b=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)
\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)
\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)
\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)
\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)
\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)
13 tháng 6 2020
Bài 2:
Ta có: M = a2+ab+b2 -3a-3b-3a-3b +2001
=> 2M = ( a2 + 2ab + b2) -4.(a+b) +4 + (a2 -2a+1)+(b2 -2b+1) + 3996
2M= ( a+b-2)2 + (a-1)2 +(b-1)2 + 3996
=> MinM = 1998 tại a=b=1
13 tháng 6 2020
Câu 3:
Ta có: P= x2 +xy+y2 -3.(x+y) + 3
=> 2P = ( x2 + 2xy +y2) -4.(x+y) + 4 + (x2 -2x+1) +(y2 -2y+1)
2P = ( x+y-2)2 +(x-1)2+(y-1)2
=> MinP = 0 tại x=y=1
https://tuhoc365.vn/qa/cho-bieu-thuc-p-a4-b4-ab-voi-ab-la-cac-so-thuc-thoa-man-a2-b2-ab-3-tim-gia-tri-lon/
Bạn có thể tham khảo ở đây nha.