Cho a, b, c thõa mãn a+b+c = 0 . Cmr: 2( a5+b5 +c5) = 5abc. (a2+b2+c2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải:
\(a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2=(-c)^2-2ab+c^2=2(c^2-2ab)\)
\(a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc\)
Do đó:
$2(a^2+b^2+c^2).3(a^3+b^3+c^3)=36abc(c^2-2ab)$
Mặt khác:
\(a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)+c^5\)
\(=[(a+b)^2-2ab][(a+b)^3-3ab(a+b)]-a^2b^2(-c)+c^5\)
\(=(c^2-2ab)(-c^3+3abc)+a^2b^2c+c^5\)
\(=-c^5+3abc^3+2abc^3-6a^2b^2c+a^2b^2c+c^5\)
\(=5abc^3-5a^2b^2c=5abc(c^2-ab)\)
\(\Rightarrow 5(a^5+b^5+c^5)=25abc(c^2-ab)\)
Do đó 2 đẳng thức trên không bằng nhau.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
1. Đề sai với $a=1; b=0; c=-1$
2. Vì $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$. Khi đó:
$a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=-c^3+3abc+c^3=3abc$ (đpcm)
3. Đề sai.
$a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)+c^5$
$=[(a+b)^2-2ab][(a+b)^3-3ab(a+b)]-a^2b^2(-c)+c^5$
$=[(-c)^2-2ab][(-c)^3-3ab(-c)]+a^2b^2c+c^5$
$=(c^2-2ab)(3abc-c^3)+a^2b^2c+c^5$
$=3abc^3-c^5-6a^2b^2c+2abc^3+a^2b^2c+c^5$
$=3abc^3-6a^2b^2c+2abc^3+a^2b^2c$
$=abc(5c^2-5ab)=5abc(c^2-ab)$
26 tháng 8 2021
2:Ta có: a+b+c=0
nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)
Ta có: a+b+c=0
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
15 tháng 6 2023
1: (a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+9
=(a^2-7a+6)(a^2-7a+12)+9
=(a^2-7a)^2+18(a^2-7a)+81
=(a^2-7a+9)^2>=0
b: \(A=\dfrac{a^4-4a^3+a^2+4a^3-16a+4+16a-3}{a^2}=\dfrac{16a-3}{a^2}\)
a^2-4a+1=0
=>a=2+căn 3 hoặc a=2-căn 3
=>A=11-4căn 3 hoặc a=11+4căn 3
D
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 4 2021
- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)
- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\) trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)
Vậy \(a=b=c=0\)
