Question

[I don't need you]

Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\widehat{B}=30^0\) , lấy điểm D thuộc cạnh BC, sao cho \(\widehat{BAD}=15^0\) . Chứng minh rằng:

AC + CD = nửa chu vi tam giác ABC

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Bạn làm theo cách này nhé, sẽ ngắn gọn hơn !

Hạ đường cao AH của \(\Delta\)ABC.

Ta có: ^ADH là góc ngoài của \(\Delta\)ADB => ^ADH = ^ABD + ^BAD = 30⁰ + 15⁰ = 45⁰

Xét \(\Delta\)AHD có: ^AHD=90⁰; ^ADH=45⁰ => \(\Delta\)AHD vuông cân tại H => HD = AH. 

Dễ thấy: \(\Delta\)AHB là tam giác nửa đều => AH=1/2.AB => HD=1/2.AB

\(\Delta\)AHC cũng là tam giác nửa đều => HC=1/2.AC

=> HD + HC = 1/2 (AB+AC) => CD = (AB+AC)/2

=> AC + CD = AC +  (AB+AC)/2. Do \(\Delta\)ABC nửa đều => AC=BC/2

=> AC + CD = BC/2 + (AB+AC)/2 = C_ABC/2 (đpcm).

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại E. DE giao AB ở I

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên CD và DE

Xét \(\Delta\)BID và \(\Delta\)AIE: ^BDI = ^EAI = 90⁰; ^BID = ^AIE (Đối đỉnh)

=> ^DBI = ^AEI hay ^HBA = ^KEA

Ta có: ^HAB + ^HBA =90⁰; ^KAE + ^KEA = 90⁰. Mà ^HBA=^KEA => ^HAB = ^KAE.

Ta thấy: ^ADC là góc ngoài \(\Delta\)BAD => ^ADC = ^BAD + ^ABD = 30⁰ + 15⁰ = 45⁰

Mà ^CDE = 90⁰ = .^CDE= 2.^ADC => DA là phân giác ^CDE

Do H và K là hình chiếu của A lên CD và DE => AH=AK (T/c đường phân giác)

Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)AKE: AH=AK; ^AHB = ^AKE =90⁰; ^HAB = ^KAE (cmt)

=> \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)AKE (g.c.g)  => AB=AE (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)CDE: ^CDE=90⁰; ^DCE=60⁰ => \(\Delta\)CDE là tam giác nửa đều

= > \(CD=\frac{CE}{2}=\frac{AC+AE}{2}=\frac{AB+AC}{2}\)(Do AB=AE)

\(\Leftrightarrow AC+CD=AC+\frac{AB+AC}{2}\)(1)

Mặt khác \(\Delta\)ABC là tam giác nửa đều => \(AC=\frac{BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AC+CD=\frac{BC}{2}+\frac{AB+AC}{2}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{C_{\Delta ABC}}{2}\)

=> ĐPCM.