cho đường tròn 0 . từ điểm A nằm ngoài 0 vẽ tiếp tuyến AB , AC với O . vẽ đường kính BD. Tiếp tuyến tại D của O cắt BC tại E. Chứng minh ABOC nội tiếp
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
25 tháng 12 2017
a) Do AB và AC là các tiếp tuyến cắt nhau tại A nên áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AB = AC và AH là phân giác góc BAC.
Xét tam giác cân ABC có AH là phân giác nên AH đồng thời là đường cao. Vậy thì AO vuông góc với BC tại H.
b) Xét tam giác AEC và ACD có :
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ACE}=\widehat{ACD}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn một cung)
\(\Rightarrow\Delta AEC\sim\Delta ACD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}\Rightarrow AE.AD=AC^2\)
Xét tam giác vuông ACD, đường cao CH, ta có :
\(AH.AO=AC^2\) (Hệ thức lượng)
Vậy nên ta có : AE.AD = AH.AO
c) Xét tam giác vuông ABO, đường cao BH, ta có: AH.AO = BO2
Do BO = DO nên AH.AO = OD2
Lại có \(\Delta AKO\sim\Delta FHO\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AO}{FO}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OK.OF=AO.OH\)
Vậy nên OK.OF = OD2 hay \(\frac{OK}{OD}=\frac{OD}{OF}\)
Vậy nên \(\Delta OKD\sim\Delta ODF\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{FDO}=\widehat{DKO}=90^o\)
Vậy nên FD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
21 tháng 2 2021
a) Xét tứ giác MAOB có:
\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o+90^o=180^o\) (MA,MB là tiếp tuyến)
=> Tứ giác MAOB nội tiếp (dhnb)
b) Tam giác CAD vuông tại C (tiếp tuyến tại C) và có BC là đường cao (góc ABC nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow AC^2=AB.AD\) (hệ thức lượng) (1)
Có: \(AC^2=\left(2R\right)^2=4R^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB.AD=4R^2\)
22 tháng 2 2021
a) Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn(A,C,B∈(O))
AC là đường kính(gt)
Do đó: ΔABC vuông tại B(Định lí)
⇔CB⊥AB tại B
⇔CB⊥AD tại B
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại C có CB là đường cao ứng với cạnh huyền AD, ta được:
\(AB\cdot AD=AC^2\)
\(\Leftrightarrow AB\cdot AC=\left(2\cdot R\right)^2=4R^2\)(đpcm)
ML
18 tháng 5 2018
a. Vì AB,AC là 2 tiếp tuyến của đt (O) (gt) => AO là phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Định lý 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)
Mà \(\Delta BOC\)cân tại O (Do OB = OC = R) => AO là đường cao của \(\Delta\)BOC (T/c \(\Delta\)cân) => \(AO\perp BC\)tại H (Đpcm)
b. Ta có: \(\widehat{CMD}=90^o\)(Góc nội tiếp chắn nửa đt) => \(CM\perp AM\Rightarrow\widehat{AMC}=90^o\)
\(Do\)\(AO\perp BC\)tại H (cmt) => \(\widehat{AHC}=90^o\)
Xét tứ giác AMHC có: \(\widehat{AMC}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)=> Tứ giác AMHC là tứ giác nội tiếp (Dhnb) => Đpcm
c.
Xét đt (O) có: \(\widehat{MBC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}=\widehat{NBH}\)(T/c góc nội tiếp)
\(\widehat{ACM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) => \(\widehat{ACM}=\widehat{NBH}\)(1)
Vì AMHC là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{ACM}=\widehat{AHM}=\widehat{NHM}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{AM}\)) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{NBH}=\widehat{NHM}\)
Xét \(\Delta NBH\)và \(\Delta NHM\)có:
+ \(\widehat{NBH}=\widehat{NHM}\left(cmt\right)\)
+ \(\widehat{N}\)chung
=> \(\Delta NBH~\Delta NHM\left(g.g\right)\) => \(\frac{NB}{NH}=\frac{NH}{NM}\Rightarrow NH^2=NM.NB\)(Đpcm) (3)
Vì tứ giác AMHC nội tiếp (Cmt) => \(\widehat{HAM}=\widehat{NAM}=\widehat{HCM}=\widehat{BCM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{HM}\))
Lại có: \(\widehat{NBA}=\widehat{MBA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) => \(\widehat{NAM}=\widehat{NBA}\)
Xét \(\Delta NAM\)và \(\Delta NBA\)có:
+ \(\widehat{NAM}=\widehat{NBA}\left(Cmt\right)\)
+ \(\widehat{N}\)chung
=> \(\Delta NAM~\Delta NBA\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NA}{NB}=\frac{NM}{NA}\Rightarrow NA^2=NM.NB\)(4)
Từ (3) và (4) => \(NH^2=NA^2\Rightarrow NH=NA\left(Đpcm\right)\)
d.
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABO\)vuông tại B với đường cao BH ta được:
\(AB^2=AH.AO=AH.\frac{\left(OA+OA\right)}{2}=AH.\frac{\left(AK-OK+AI+OI\right)}{2}\)= \(AH.\frac{\left(AK+AI\right)}{2}\)(Do OK = OI = R)
= \(2AN.\frac{\left(AK+AI\right)}{2}=AN.\left(AK+AI\right)\)(Do NA =NH (cmt) => AH = 2AN) (5)
Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta AKB\)Có:
+ \(\widehat{A}\)chung
+ \(\widehat{ABI}=\widehat{AKB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BI}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
=> \(\Delta ABI~\Delta AKB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AI}{AB}\Rightarrow AB^2=AI.AK\)(6)
Từ (5) và (6) => \(AI.AK=AN.\left(AI+AK\right)\Rightarrow\frac{1}{AN}=\frac{AI+AK}{AI.AK}=\frac{1}{AI}+\frac{1}{AK}\)(Đpcm)
