Question

[Bùi Văn Duy]

cho đa thức F(x)=\(ax^3+bx^2+cx+d\)  với a,b,c,d là các hệ số nguyên.Biết rằng  F(x) chia hết cho 5 với mọi x nguyên.Chướng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5 

Answer 1

[_Dũng Senpai_]

ta có: F(x) chia hết 5 => F(0)= a.0^3 + b.0^2 + c.0 + d chia hết 5

=> 0+0+0+d chia hết cho 5 => d chia hết 5

ta có: F(1)= a.1^3 + b.1^2 +c.1 + d chia hết 5

=> a+b+c+d chia hết 5

Mà d chia hết 5 => a+b+c chia hết 5               (1)

ta có:F(-1)= a.(-1)^3 + b.(-1)^2 + c.(-1) +d chia hết 5

=> -a+b-c+d chia hết 5

Mà d chia hết 5 => -a+b-c chia hết 5              (2)

Từ (1) và (2) => (a+b+c)+(-a+b-c) chia hết 5

=> a+b+c-a+b-c chia hết 5 => 2b chia hết 5 => b chia hết 5

Từ (1) và (2) => (a+b+c)-(-a+b-c) chia hêt 5

=> a+b+c+a-b+c chia hết 5 => 2a+2c chia hết 5              (3)

ta có: F(2)= a.2^3 + b.2^2 + c.2 +d chia hết 5

=> 8a+4b+2c+d chia hết 5

Mà b,d chia hết 5 => 8a+2c chia hết 5                             (4)

Từ (3) và (4) => (8a+2c)-(2a+2c) chia hết 5 => 6a chia hết 5 => a chia hết 5

=> c chia hết 5

Vậy...

Đúng thì k nha mina !!