Cho x,y là hai số thực thỏa mãn \(x\ge1;x+y\le4\)
Tìm GTNN của A= \(x^2+3xy+4y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
LM
1
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2021
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{64}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{64}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)
\(P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\)
\(P=a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)+3=a^2+b^2+c^2+5\le1+5=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị
12 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xy+xz}=\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x\left(y+z\right)\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{4}=4\)=> \(\dfrac{1}{x\left(y+z\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)=> \(\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)=> \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\ge1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 ; y = z = 1
23 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)( tự c/m)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}=\frac{x^2}{x+xy^2}+\frac{y^2}{y+x^2y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y+x^2y+xy^2}=\frac{2^2}{2+xy\left(x+y\right)}=\frac{4}{2+2xy}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)( tự c/m)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
Áp dụng: \(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+x^2}\ge\frac{4}{2+2xy}\ge\frac{4}{2+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{2+2}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1
T
23 tháng 4 2019
Một lời giải rất quen thuộc đó là dùng cô si ngược dấu:
\(x.\frac{1}{1+y^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)\ge x\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x-\frac{xy}{2}\)
Tương tự,ta cũng có: \(\frac{y}{1+x^2}\ge y-\frac{xy}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên và áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\),ta được:
\(VT\ge\left(x+y\right)-xy\ge2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=2-1=1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
26 tháng 3 2022
\(A=x^2+3xy+4y^2\ge4y^2+3y+1\)
\(=\left(4y^2+\frac{2.2y.3}{4}+\frac{9}{16}\right)+\frac{7}{16}\)
\(=\left(2y+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{16}\ge\frac{7}{16}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2022
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)
\(P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
2 tháng 1 2021
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2022
\(A=\dfrac{7x^2}{16}+\left(\dfrac{9x^2}{16}+3xy+4y^2\right)\)
\(A=\dfrac{7x^2}{16}+\left(\dfrac{3x}{4}+2y\right)^2\ge\dfrac{7x^2}{16}\ge\dfrac{7.1^2}{16}=\dfrac{7}{16}\)
\(A_{min}=\dfrac{7}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;-\dfrac{3}{8}\right)\)
\(A=x^2+3xy+4y^2=\frac{7}{16}x^2+\frac{9}{16}x^2+3xy+4y^2=\frac{7}{16}x^2+\left(\frac{3}{4}x+2y\right)^2\)
\(\ge\frac{7}{16}.1^2+0^2=\frac{7}{16}\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\\frac{3}{4}x+2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-\frac{3}{8}\end{cases}}\).