Question

[Nhung Nguyễn]

Cho tam giác ABC nhọn , đường cao CK , trực tâm H . M là 1 điểm trên CK sao cho góc AMB = 90 độ . Gọi S, S₁, S₂ theo thứ tự lần lượt là diện tích của tam giác AMB; ABC; ABH . Cmr: S = \(\sqrt{S1.S2}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Với S₁ = S_ABC và S₂ = S_ABH . Ta có các công thức tính diện tích:

\(S_1=\frac{CK.AB}{2};\)  \(S_2=\frac{HK.AB}{2}\)

\(\Rightarrow S_1.S_2=\frac{AB^2.\left(CK.HK\right)}{4}\Rightarrow\sqrt{S_1.S_2}=\frac{AB.\sqrt{CK.HK}}{2}\)(*)

Dễ thấy: ^KBH = ^KCA (Do cùng phụ với ^BAC) => \(\Delta\)HKB ~ \(\Delta\)AKC (g.g)

\(\Rightarrow\frac{HK}{AK}=\frac{BK}{CK}\Rightarrow CK.HK=AK.BK\)

Lại có: \(\Delta\)AMB vuông ở M có đường cao MK  \(\Rightarrow AK.BK=MK^2\)(Hệ thức lg trg \(\Delta\)vuông)

Từ đó => \(CK.HK=MK^2\Leftrightarrow\sqrt{CK.HK}=MK\); thế vào (*) thì được:

\(\sqrt{S_1.S_2}=\frac{AB.MK}{2}=S_{AMB}=S\). Vậy có ĐPCM.