Ta có bất đẳng thức sau 

a² + b² + c² \(\ge\) ab + bc + ca (1)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Thật vậy (1) <=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge0\) 

  <=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² \(\ge0\) (bđt này luôn đúng)

Khi đó ta được (1) <=> 2(a² + b² + c²) \(\ge\) 2(ab + bc + ca) 

<=> 3(a² + b² + c²) \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ca + a² + b² + c² 

<=> 3(a² + b² + c²) \(\ge\) (a + b + c)² 

=> -(a² + b² + c²) \(\le\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\)

Ta có \(P=\dfrac{b+c}{b+c-a}+\dfrac{c+a}{c+a-b}+\dfrac{a+b}{a+b-c}\)

\(=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}+3\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ac-a^2}+\dfrac{b^2}{ab+bc-b^2}+\dfrac{c^2}{ac+bc-c^2}+3\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac-a^2+ab+bc-b^2+ac+bc-c^2}+3\) (BĐT Schwarz)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2}+3\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}+3=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{3}}+3=6\) (đpcm) 

B = x² + 9y² + 2011

= x² + (3y)² + 2011

= x² + (5 - 2x)² + 2011 (do 2x + 3y = 5)

= x² + 4x² - 20x + 25 + 2011

= 5x² - 20x + 2036

= 5x² - 20x + 20 + 2016

= 5(x² - 4x + 4)  + 2016

= 5(x - 2)² + 2016 \(\ge2016\)

=> Min B = 2016 khi x - 2 = 0 <=> x = 2 

khi đó y = \(\dfrac{1}{3}\)

Vậy B_min = 2016 khi x = 2 ; \(y=\dfrac{1}{3}\)

Ta có x² + y² + z² = 6 ; xy - 3x + 2z = 10

Khi đó 4(x² + y² + z²) - 4(xy - 3x + 2z) = 24 - 40

<=> 4x² + 4y² + 4z² - 4xy + 12x - 8z + 16 = 0

<=> (x² - 4xy + 4y²) + (3x² + 12x + 12) + (4z² - 8z + 4) = 0

<=> (x - 2y)² + 3(x + 2)² + 4(z - 1)² = 0

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\x+2=0\\z-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=-2\\z=1\end{matrix}\right.\)

Thay x = -2 ; y = -1 ; z = 1 vào P ta được \(P=\dfrac{1006xy-2019y-x^3+z^5}{x^2+2y^3}\)

\(=\dfrac{1006.(-2).(-1)-2019.(-1)-(-2)^3+1^5}{(-2)^2+2.1^3}\)

\(=\dfrac{2020}{3}\)

\(A=5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+81\)

\(A=4x^2+x^2+9y^2-12xy+32x-48y-8x+16+1+64\)

\(A=(4x^2+9y^2+64-12xy+32x-48y)+\left(x^2-8x+16\right)+1\)

\(A=[\left(2x\right)^2+\left(3y\right)^2+\left(8\right)^2-2.2x.3y-2.3y.8+2.2x.8]+\left(x^2-8x+16\right)+1\)

\(A=\left(2x-3y+8\right)^2\left(x-4\right)^2+1\)

\(Do\) \(\left(2x-3y+8\right)^2\ge0\) \(và\) \(\left(x-4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow A_{min}=1\)

Với k \(\le4\) => không có k thỏa mãn 

Với k > 4 : P = 2^k + 2⁴ + 2⁷ 

 = 2⁴(2^{k - 4} + 2³ + 1)

= 2⁴(2^{k - 4} + 9)

= 16(2^{k - 4} + 9) 

 P chính phương <=> 2^{k - 4} + 9 chính phương

đặt 2^{k - 4} + 9 = y² (y \(\inℕ\))

<=> 2^{k - 4} = (y - 3)(y + 3)  (*)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y-3=2^m\\y+3=2^n\end{matrix}\right.\left(m;n\inℕ\right)\Leftrightarrow2^n-2^m=6\)

<=> 2^m(2^{n - m} - 1) = 6

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}2^m=2\\2^{n-m}-1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=3\end{matrix}\right.\)

khi đó phương trình (*) <=> k - 4 = m + n 

<=> k - 4 = 1 + 3 

<=> k = 8 

Biến đổi đến 6c -5a = b tách b trừ c bằng 5 lần c trừ a suy ra b trừ c chia hết cho 5, 

b >6,a <c lần lượt thay b bằng 7, 8, 9 tìm được c bằng 2, 3, 4 và a băng 1,2,3

Vì a,b,c khác nhau đôi một