A+B+C=0=>A,B,C=0=> kq=0

điêu

Chứng minh:

A = 8^38 + 2^110
 = (2^3)^38 + 2^110
 = 2^114 + 2^110
 = 2^110.(2^4 + 1)
= 2^110. 17

Vậy 2^110. 17 chia hết cho 17

- Định lí Bezout: Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức \(x-a\) thì có số dư là \(P\left(a\right)\).

Áp dụng:

P(x) chia x+1 dư 4 \(\Rightarrow P\left(-1\right)=4\)

P(x) chia x+2 dư 1\(\Rightarrow P\left(-2\right)=1\)

Vì P(x) chia x²+3x+2 được thương là 5x² nên ta có:

\(P\left(x\right)=\left(x^2+3x+2\right).5x^2+ax+b\left(1\right)\) (a,b là hằng số).

Thay \(x=-1\) vào (1) ta được:

\(P\left(-1\right)=\left(1^2-3.1+2\right).5.1^2-a+b=-a+b\)

\(\Rightarrow b-a=4\left(\cdot\right)\)

Thay \(x=-2\) vào (1) ta được:

\(P\left(-2\right)=\left(2^2-3.2+2\right).5.2^2-a.2+b\)

\(\Rightarrow b-2a=1\left(\cdot\cdot\right)\)

Từ (*), (**) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=4\\b-2a=1\end{matrix}\right.\)

Giải ra ta được \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=7\end{matrix}\right.\)

Vậy \(P\left(x\right)=\left(x^2+3x+2\right).5x^2+3x+7\)

Thay \(x=-10\) vào P(x) ta được:

\(P\left(-10\right)=\left(10^2-3.10+2\right).5.10^2-3.10+7=35977\)

\(xy+yz+zx=8xyz\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=8\)

\(\Rightarrow\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}=64\)

Ta có: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\)

\(=\left(\dfrac{1}{x}+...+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+...+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+\left(\dfrac{1}{z}+...+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

(sau dấu chấm là bốn số tương tự).

\(\ge^{Cauchy-Schwarz}\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow64\ge\dfrac{8^2}{6x+y+z}+\dfrac{8^2}{6y+z+x}+\dfrac{8^2}{6z+x+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{6x+y+z}+\dfrac{1}{6y+z+x}+\dfrac{1}{6z+x+y}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{8}\)

Vậy \(Max\) của biểu thức đã cho là 1.