Trong khoảng đã cho:

Số nhỏ nhất chia hết cho 6: 12

Số lớn nhất chia hết cho 6: 174

Số nhỏ nhất chia hết cho 8: 16

Số lớn nhất chia hết cho 8: 176

Số lượng số chia hết cho 6 là:

\(\dfrac{174-12}{6}+1=28\left(số\right)\)

Số lượng số chia hết cho 8:

\(\dfrac{176-16}{8}+1=21\left(số\right)\)

Có 4 số chia hết cho 6 và 8 là 48,96,144,192.

Số lượng số ít nhất chia hết cho 6 và 8 là:

\(28+21-4=45\left(số\right)\)

Đáp số: 45 số

\(\dfrac{6^3+3\times6^2+3^3}{-13}=\dfrac{2^3\times3^3+3\times2^2\times3^2+3^3}{-13}\)

                             \(=\dfrac{2^3\times3^3+2^2\times3^3+3^3}{-13}=\dfrac{3^3\times\left(2^3+2^2+1\right)}{-13}\) 

                            \(=\dfrac{3^3\times13}{-13}=-9\)

\(\dfrac{6^3+3\cdot6^2+3^3}{-13}\)

\(=\dfrac{216+3\cdot36+27}{-13}\)

\(=\dfrac{216+108+27}{-13}\)

\(=\dfrac{241}{-13}\)

Trong khoảng đã cho:

Số nhỏ nhất chia hết cho 10 là 40.

Số lớn nhất chia hết cho 10 là 250.

Số nhỏ nhất chia hết cho 11 là 44.

Số lớn nhất chia hết cho 11 là 253.

Số các số chia hết cho 10:

\(\dfrac{250-40}{10}+1=22\left(số\right)\)

Số các số chia hết cho 11:

\(\dfrac{253-44}{11}+1=20\left(số\right)\)

Có 2 số chia hết cho 10 và 11 là 110 và 220.

Số lượng số ít nhất chia hết cho 10 và 11 là:

\(22+20-2=40\left(số\right)\)

Đáp số: 40 số

Ta có:
\(\dfrac{998}{555}=1+\dfrac{443}{555}\)
\(\dfrac{999}{556}=1+\dfrac{443}{556}\)
So sánh phân số \(\dfrac{443}{555}\) và \(\dfrac{443}{556}\)
Vì \(555< 556\) nên \(\dfrac{1}{555}>\dfrac{1}{556}\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{443}{555}>1+\dfrac{443}{556}\)
Vậy \(\dfrac{998}{555}>\dfrac{999}{556}\)

 Ta có một công thức tổng quát là nếu có phân số \(\dfrac{a}{b}>1\) và \(a,b>0\)thì \(\dfrac{a+1}{b+1}< \dfrac{a}{b}\). Thật vậy, điều này tương đương với \(b\left(a+1\right)< a\left(b+1\right)\Leftrightarrow b< a\), luôn đúng vì \(\dfrac{a}{b}>1\).

 Như vậy, trở lại bài toán, ta thấy \(\dfrac{998}{555}>1\) nên \(\dfrac{999}{556}< \dfrac{998}{555}\).

Số lớn nhất trong khoảng đã cho chia hết cho 5 là: 130

Số lớn nhất trong khoảng đã cho chia hết cho 7 là: 133

Số chia hết cho 5 trong khoảng đã cho:

\(130:5=26\left(số\right)\)

Số chia hết cho 7 trong khoảng đã cho:

\(133:7=19\left(số\right)\)

Trong khoảng đã cho có số lượng các số ít nhất chia hết cho 5 và 7 là:

\(26+19=45\left(số\right)\)

Đáp số: \(45số\)

Các số chia hết cho 5 là \(5;10;15;...;130\) 

Số các số chia hết cho 5 là

        \(\left(130-5\right)\div5+1=26\) (số)

Các số chia hết cho 7 là \(7;14;21;...;133\)

Số các số chia hết cho 7 là

         \(\left(133-7\right)\div7+1=19\) (số)

Các số chia hết cho 5 và 7

=> Các số chia hết cho 35

 Các số chia hết cho 35 là \(35;70;105\) 

Số các số chia hết 5 và 7 là 3 (số)

Số các số chia hết cho ít nhất một trong hai số 5 và 7 là

          \(26+19-3=42\) (số)

 a) Ta thấy \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\) và \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\) nên nếu đặt \(x+y=S,xy=P\) thì ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}S^3-3SP=2\\S^2-2P=2\end{matrix}\right.\) . Từ pt (2) suy ra \(P=\dfrac{S^2-2}{2}\). Thay vào (1), ta có \(S^3-3S.\dfrac{S^2-2}{2}=2\) \(\Leftrightarrow-S^3+6S-4=0\) hay \(S^3-6S+4=0\)

 Đến đây ta dễ dàng nhẩm ra được \(S=2\). Do đó ta lập sơ đồ Horner:

Nghĩa là từ \(S^3-6S+4=0\) ta sẽ có \(\left(S-2\right)\left(S^2+2S-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=2\\S=-1\pm\sqrt{3}\end{matrix}\right.\).

 Nếu \(S=2\) thì \(P=\dfrac{S^2-2}{2}=1\). Ta thấy \(S^2-4P=0\) nên x, y sẽ là nghiệm của pt \(X^2-2X+1=0\Leftrightarrow\left(X-1\right)^2=0\Leftrightarrow X=1\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\).

 Nếu \(S=-1+\sqrt{3}\) thì \(P=\dfrac{S^2-2}{2}=1-\sqrt{3}\). Ta thấy \(S^2-4P>0\) nên x, y là nghiệm của pt \(X^2-\left(\sqrt{3}-1\right)X+1-\sqrt{3}=0\). \(\Delta=2\sqrt{3}\) nên \(X=\dfrac{\sqrt{3}-1\pm\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{\sqrt{3}-1+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}}{2}\right)\) và hoán vị của nó. 

 Nếu \(S=-1-\sqrt{3}\) thì \(P=\dfrac{S^2-2}{2}=1+\sqrt{3}\). Mà \(S^2-4P=-2\sqrt{3}< 0\) nên không tìm được nghiệm (x; y)

 Như vậy hệ phương trình đã cho có các cặp nghiệm \(\left(1;1\right);\left(\dfrac{\sqrt{3}-1+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}\right)\)\(\left(\dfrac{\sqrt{3}-1-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1+2\sqrt{3}}{2}\right)\)

b) Ta thấy \(x^3+y^3+xy=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\)  nên nếu đặt \(S=x+y,P=xy\) thì ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}S^3-3SP+P=3\\S+P=3\end{matrix}\right.\), suy ra \(P=3-S\) 

\(\Rightarrow S^3-3S\left(3-S\right)+3-S=3\)

\(\Leftrightarrow S^3-10S+3S^2=0\)

\(\Leftrightarrow S\left(S^2+3S-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}S=0\\S=2\\S=-5\end{matrix}\right.\)

 Nếu \(S=0\) thì \(P=3\). Khi đó vì \(S^2-4P< 0\) nên không tìm được nghiệm (x; y)

 Nếu \(S=2\) thì suy ra \(P=1\). Ta có \(S^2-4P=0\) nên x, y là nghiệm của pt \(X^2-2X+1=0\Leftrightarrow X=1\) hay \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

 Nếu \(S=-5\) thì suy ra \(P=8\). Ta có \(S^2-4P< 0\) nên không thể tìm được nghiệm (x; y).

 Như vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(1;1\right)\)

Vì mỗi năm mỗi người thêm 1 tuổi 

=> Sau 8 năm nữa tuổi anh vẫn hơn tuổi em 7 tuổi

Cách 1: Sau 8 năm nữa, số tuổi của anh là

                \(\left(37+7\right)\div2=22\) (tuổi)

             Số tuổi của anh hiện nay là

                  \(22-8=14\) (tuổi)

            Số tuổi của em hiện nay là

                   \(14-7=7\) (tuổi)

Cách 2: Số tuổi của em sau 8 năm là

               \(\left(37-7\right)\div2=15\) (tuổi)

             Số tuổi của em hiện nay là

                 \(15-8=7\) (tuổi)

              Số tuổi của anh hiện nay là

                  \(7+7=14\) (tuổi)

Cách 1 (khuyên dùng)

Tổng số tuổi 2 anh em:

\(37-\left(8\cdot2\right)=21\left(tuổi\right)\)

Anh có số tuổi là:
\((21+7)/2=14(tuổi)\)
Em có số tuổi là:
\(21-14=7(tuổi)\)
Đáp số: Anh: \(14tuổi\)
        Em: \(7tuổi\)

Cách 2:

Anh (sau 8 năm) có số tuổi là:
\((37+7)/2=22(tuổi)\)

Tuổi anh là:

\(22-8=14\left(tuổi\right)\)
Em có số tuổi là:
\(14-7=7(tuổi)\)

Đáp số: Anh: \(14tuổi\)
        Em: \(7tuổi\)

Từ bài toán, ta có sơ đồ:
Số lớn: |----|----|----|----|
Số bé: |----|
Hiệu số phần bằng nhau là:
\(4-1=3(phần)\)
Giá trị mỗi phần là:
\(54/3=18(đơnvị)\)
Số lớn có số đơn vị là:
\(18*4=72(đơnvị)\)
Số bé có số đơn vị là:
\(72-54=18(đơnvị)\)
Đáp số: Số lớn: \(72đơnvị\)
        Số bé: \(18đơnvị\)

Hiệu số phần bằng nhau là

     \(4-1=3\) (phần)

Số lớn là

     \(54\div3\times4=72\) 

Số bé là

     \(72-54=18\)