G là trọng tâm ΔABC

\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm 0}\)

G là trọng tâm ΔAEF

\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm 0}\)

\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GF}\)

\(\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GF}\)

\(\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm EB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}+\overrightarrow{\rm GF}\)

\(\overrightarrow{\rm EB}=\overrightarrow{\rm CF}\)

\(\overrightarrow{\rm EB}=\overrightarrow{\rm FC}\)

G là trọng tâm ΔABC

\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm 0}\)

G là trọng tâm ΔAEF

\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm 0}\)

\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GF}\)

\(\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GF}\)

\(\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm EB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}+\overrightarrow{\rm GF}\)

\(\overrightarrow{\rm EB}=\overrightarrow{\rm CF}\)

\(\overrightarrow{\rm EB}=\overrightarrow{\rm FC}\)

Nối A vs N

a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF

=> AN//CE và AN =1/2. CE

=> AN=1/2.BC(vì  BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)

xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng)   => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN   (1)   ; 

xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) =>  IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD 

Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD)     (2)

Từ (1),(2)=> IK=MN

Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD

Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD) 

=> tg MNIK là hbh (đpcm)

b) Do  tg MNIK là hbh ( câu a)  mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN

=> IG=MG và KG=NG

Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM

   K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN

xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt)  và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC   (*)

xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF   (**)

Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF

=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G    (đpcm)

Nối A vs N

a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF

=> AN//CE và AN =1/2. CE

=> AN=1/2.BC(vì  BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)

xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng)   => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN   (1)   ; 

xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) =>  IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD 

Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD)     (2)

Từ (1),(2)=> IK=MN

Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD

Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD) 

=> tg MNIK là hbh (đpcm)

b) Do  tg MNIK là hbh ( câu a)  mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN

=> IG=MG và KG=NG

Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM

   K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN

xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt)  và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC   (*)

xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF   (**)

Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF

=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G    (đpcm)

dddddddddddd

Tham khảo ạ !!!!

vì các góc ACD và ABD đều nhìn đoạn AD dưới 1 góc vuông

suy ra góc ACD = ABD = 90

vì H là trực tâm tam giác

suy ra BH vuông góc với AC

và CH vuông góc với AB

vì BH vuông góc với AC

mà CD vuông góc với AC

suy ra BH//CD

tương tự, ta được BD//HC

suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành

suy ra BH = CD

mà BH//CD(cmt)

suy ra vecto BH = DC

\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm DC},\overrightarrow{\rm BA}=\overrightarrow{\rm CD}\)

\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm DO},\overrightarrow{\rm BO}=\overrightarrow{\rm OD}\)

\(\overrightarrow{\rm AO}=\overrightarrow{\rm OC},\overrightarrow{\rm CO}=\overrightarrow{\rm }\)

asinA=bsinB=2R⇒{sinA=a2RsinB=b2Rasin⁡A=bsin⁡B=2R⇒{sin⁡A=a2Rsin⁡B=b2R

c2=a2+b2−2bacosC⇒cosC=a2+b2−c22abc2=a2+b2−2bacos⁡C⇒cos⁡C=a2+b2−c22ab

dt⇔a2R=2.b2R.a2+b2−c22abdt⇔a2R=2.b2R.a2+b2−c22ab

⇔a=a2+b2−c2a⇔a2=a2+b2−c2⇔a=a2+b2−c2a⇔a2=a2+b2−c2

⇒b2=c2⇒b=c⇒b2=c2⇒b=c

Vậy tam giác ABC cân tại A

asinA=bsinB=2R⇒{sinA=a2RsinB=b2Rasin⁡A=bsin⁡B=2R⇒{sin⁡A=a2Rsin⁡B=b2R

c2=a2+b2−2bacosC⇒cosC=a2+b2−c22abc2=a2+b2−2bacos⁡C⇒cos⁡C=a2+b2−c22ab

dt⇔a2R=2.b2R.a2+b2−c22abdt⇔a2R=2.b2R.a2+b2−c22ab

⇔a=a2+b2−c2a⇔a2=a2+b2−c2⇔a=a2+b2−c2a⇔a2=a2+b2−c2

⇒b2=c2⇒b=c⇒b2=c2⇒b=c

Vậy tam giác ABC cân tại A