\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^3+30xy=2000\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x+y\right)^3-1000\right]-3xy\left(x+y-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y-10\right)\left[\left(x+y\right)^2-10\left(x+y\right)+100\right]-3xy\left(x+y-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-10\right)\left[2\left(x+y\right)^2-20\left(x+y\right)+200-3xy\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=10\)

Do:

\(2\left(x+y\right)^2-20\left(x+y\right)+200-3xy\)

\(=\left(x+y-10\right)^2+\left(x+y\right)^2-3xy+100\)

\(=\left(x+y-10\right)^2+\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+100>0\)

a) Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (I;r) với MN,PQ,RS; T,U,V lần lượt là tiếp điểm của (I;r) với BC,AC,AB

Xét đường tròn (I;r) có hai tiếp tuyến tại D và U cắt nhau tại M \(\Rightarrow MD=MU\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tương tự, ta cũng có: \(SU=SF;\)\(RF=RT;\)\(QT=QE;\)\(PE=PV;\)\(NV=ND\)

Mà \(P_1=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MU+NV\)(1)

\(P_2=BP+BQ+PQ=BP+BQ+PE+QE=BP+BQ+PV+QT\)(2)

\(P_3=CS+CR+SR=CS+CR+SF+RF=CS+SR+RT+SU\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow P_1+P_2+P_3=AM+AN+MU+NV+BP+BQ+PV+QT+CS+CR+RT+SU\)

\(=AM+AN+BP+BQ+CS+CR+\left(MU+SU\right)+\left(RT+QT\right)+\left(PV+NV\right)\)

\(=AM+AN+BP+BQ+CS+CR+MS+RQ+NP\)

\(=\left(AM+CS+MS\right)+\left(AN+BP+NP\right)+\left(BQ+QR+RC\right)\)

\(=AC+AB+BC=P\)

Vậy đẳng thức được chứng minh

a, 70⁰ góc nào bạn ? 

b, Vì AB là tiếp tuyến (O) => ^ABO = 90⁰ 

AO giao BC = K 

AB = AC ; OB = OC = R 

Vậy OA là đường trung trực đoạn BC 

Xét tam giác ABO vuông tại B, đường cao BK

Áp dụng định lí Pytago tam giác ABO vuông tại B 

\(AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\)cm 

Áp dụng hệ thức : \(BK.AO=BO.AB\Rightarrow BK=\frac{BO.AB}{AO}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\)cm 

Vì AO là đường trung trực => \(BC=2KB=2\sqrt{3}\)cm 

Chu vi tam giác ABC là :

 \(P_{ABC}=AB+AC+BC=2AB+BC=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)cm 

a, Gọi d : y = ax + b 

d // y = x + 5 <=> \(\hept{\begin{cases}a=1\left(1\right)\\b\ne5\end{cases}}\)

d đi qua A ( 2 ; 3 ) <=> \(2a+b=3\)(2) 

Thay (1) vào (2) ta được : \(2+b=3\Leftrightarrow b=1\)

Vậy d : y = x + 1 

Vì \(65\) là số lẻ nên \(2x+5y+1\) và \(2^{\left|x\right|-1}+y+x^2+x\) cũng là số lẻ.

mà \(2x+1\)lẻ 

\(\Rightarrow\)\(5y\) là số chẵn

\(\Rightarrow\)\(y\) là số chắn

Có \(2^{\left|x\right|-1}+x^2+x\)là só lẻ mà \(x^2+x=x\left(x+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên là số chắn, \(y\) cũng là số chẵn

\(\Rightarrow\)\(2^{\left|x\right|-1}\) là số lẻ

\(\Rightarrow\)\(x=\pm1\).

Với \(x=1\)ta có: 

\(\left(5y+3\right)\left(y+3\right)=65\)

suy ra \(y=2\).

Tương tự với \(x=-1\)suy ra không có giá trị của \(y\)thỏa mãn. 

Vậy ta có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(1,2\right)\).

Do VP là số lẻ

<=> 2x + 5y + 1 là số lẻ và 2|x|+y+x2+x2|x|+y+x2+x là số lẻ

<=> y chẵn và 2|x|+y+x(x+1)2|x|+y+x(x+1) là số lẻ 

=> 2|x|2|x| là số lẻ (do y chẵn và x(x+1) chẵn)

=> x = 0

PT <=> (5y+1)(1+y)=105(5y+1)(1+y)=105

<=> y = 4 (thử lại -> thỏa mãn)

KL: x = 0; y = 4