Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\Delta'=m^2-(m^2+2m+2)>0$

$\Leftrightarrow 2m+2<0$

$\Leftrightarrow m< -1$
Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm thì:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=m^2+2m+2$

$m^2+2m+2=(m+1)^2+1>0$ nên $x_1,x_2$ luôn khác $0$
Khi đó:

$\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=x_1+x_2$

$\Leftrightarrow 2.\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=x_1+x_2$

$\Leftrightarrow 2.\frac{2m}{m^2+2m+2}=2m$

$\Leftrightarrow 2m(\frac{2}{m^2+2m+2}-1)=0$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m^2+2m+2=2$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m(m+2)=0$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=-2$ Vì $m< -1$ nên $m=-2$

Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta'=1-(m-3)>0$

$\Leftrightarrow 4-m>0\Leftrightarrow m< 4$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2$

$x_1x_2=m-3$
Khi đó:
$x_1^2-(x_1+x_2)x_2+x_1x_2=-12$

$\Leftrightarrow x_1^2-x_2^2=-12$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)=-12$

$\Leftrightarrow 2(x_1-x_2)=-12$
$\Leftrightarrow x_1-x_2=-6$

Kết hợp với $x_1+x_2=2$ thì $x_1=-2; x_2=4$

$m-3=x_1x_2=(-2).4=-8$

$\Leftrightarrow m=-5$ (tm)

Ta có 2x + y = 5 

<=> y = -2x + 5 (d)

Gọi (d1) đồ thị hàm số y = ax + b

Vì (d) // (d1) nên a = -2 ; \(b\ne5\)

=> (d1) có dạng y = -2x + b

Lại có (d1) cắt Ox tại A(3;0) 

=> 0 = -2.3  + b

<=> b = 6

Vậy hàm số có dạng y = -2x + 6

 Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)

 Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\). 

 Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\).  Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)

Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$

$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$

$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$

Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Em với

Làm giúp em phần a-b được thì c luôn ạ

Bạn có đáp án câu c bài này chưa ạ?

a, 

Xét pt hoành độ giao điểm của (P) và (d): \(x^2+2x-2m=0\) (1)

\(\Delta=2^2-4\left(-2m\right)=4+8m\)

Để (d) tiếp xúc (P) thì pt (1) có nghiệm kép \(\Rightarrow\Delta=4+8m=0\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

Thay \(m=-\dfrac{1}{2}\) vào (1) \(\Rightarrow x^2+2x+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=0\) \(\Rightarrow x=-1\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\left(-1\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy (d) tiếp xúc (P) khi \(m=-\dfrac{1}{2}\) tại tọa độ \(\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\).