Đặt \(d=\left(m,n\right)\)

Ta có :\(\hept{\begin{cases}m=ad\\n=bd\end{cases}}\)với \(\left(a,b\right)=1\)

Lúc đó

\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{ad+1}{bd}+\frac{bd+1}{ad}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+a+b}{abd}\)là số nguyên

Suy ra \(a+b⋮d\Rightarrow d\le a+b\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)

Vậy \(\left(m,n\right)\le\sqrt{m+n}\)(đpcm)

\(\frac{10}{\sqrt{a}+\sqrt{a+3}}=\frac{10\left(\sqrt{a+3}-\sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{a+3}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a+3}-\sqrt{a}\right)}=\frac{10}{3}\left(\sqrt{a+3}-\sqrt{a}\right)\)

\(a,1+\sqrt[3]{x-16}=\sqrt[3]{x+3}.\)

Đặt \(\sqrt[3]{x-16}=a\Rightarrow x-16=a^3\)

\(\sqrt[3]{x+3}=b\Rightarrow x+3=b^3\)

\(\Rightarrow a^3-b^3=-19\)

Mà \(1+a=b\)

\(\Rightarrow a-b=-1\)

Ta có hệ phương trình : 

\(\hept{\begin{cases}a^3-b^3=-19\\a-b=-1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=-19\)

\(\Rightarrow a^2+ab+b^2=19\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2-ab=19\)

\(\Rightarrow1-ab=19\Rightarrow ab=-18\)

\(\Rightarrow a=-\frac{18}{b}\)( 1) 

\(a-b=-1\)

Thay vào ( 1 ) ta có : \(-\frac{18}{b}-b=-1\)

Thay vào tính ra b, rồi tính a, và tìm x nhé. ( số hơi xấu 1 tí

b tương tự. đặt ẩn rồi giải hệ phương trình nha. có gì khó hiểu hỏi tớ ^^