\(\hept{\begin{cases}x+y=z\left(1\right)\\x^3+y^3=z^2\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta thế (1) vào (2) : \(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^2\)

<=> \(\left(x+y\right)^2-3xy=\left(x+y\right)\)

Đặt: \(x+y=S;xy=P\)vì x, y nguyên dương => S; P nguyên dương

ĐK để tồn tại nghiệm x, y là: \(S^2\ge4P\)

Có: \(S^2-3P=S\)

=> \(S+3P\ge4P\)<=> \(S\ge P\)

=> \(S^2-S=3P\le3S\)

<=> \(0\le S\le4\)

+) S = 0 loại

+) S = 1 => P = 0 loại 

+) S = 2 => P =3/2 loại 

+) S = 3 => P = 2

=> \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}}\)<=> x =2; y =1 hoặc x = 1; y =2 

=>  (x; y; z ) = ( 1; 2; 3) thử lại thỏa mãn

 hoặc (x; y; z) = ( 2; 1; 3 ) thử lại thỏa mãn

+) S = 4 => P = 4 

=> \(\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=4\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)

=> (x; y; z ) = ( 2; 2; 4) thử lại thỏa mãn.

Vậy: có 3 nghiệm là:....

tham khảo

https://olm.vn/hoi-dap/detail/106887527253.html

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)

\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)

\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)

Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)

\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm

Áp dụng bđt AM-GM ta được:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{z+x}.\frac{z+x}{4}}=y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được

\(A+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Cách 2:Dù dài hơn Lê Tài Bảo Châu

\(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{x}{y+z}\)

\(\frac{y^2}{z+x}+y=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{y}{z+x};\frac{z^2}{x+y}+z=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{z}{x+y}\)

Suy ra \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)

Đến đây thay x+y+z=2 và BĐT netbitt là ra ( chứng minh netbitt nha )

Cách 3:

\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)