a) Xét \(\Delta DEC\)và \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{EDC}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{C}\)là góc chung

\(\Rightarrow\Delta DEC~\Delta ABC\left(g.g\right)\)

b) Xét \(\Delta BFA\)và \(\Delta CFB\)có:

\(\widehat{F}\)là góc chung

\(\widehat{FAB}=\widehat{FBC}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BFA~\Delta CFB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BF}{CF}=\frac{FA}{BF}\Leftrightarrow BF.BF=FA.CF\)

\(\Rightarrow BF^2=FA.FC\left(đpcm\right)\)

...

Dạ em có đáp án rồi, em cảm ơn

+) AP // BC => S ( BCP ) = S ( BAC ) = S (1)

+) AP //BC => Theo talet: \(\frac{PN}{NM}=\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}\)( vì AC = 3AN ) 

Theo menelaus xét trong tam giác PMC

\(\frac{CQ}{PQ}.\frac{NP}{NM}.\frac{BM}{BC}=1\)=> \(\frac{CQ}{PQ}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=1\)=> CQ = 6PQ => CP = 7 QP 

=> \(\frac{S\left(QPB\right)}{S\left(CPB\right)}=\frac{QP}{CP}=\frac{1}{7}\)

=> S ( QPB ) = S/7

Có AB//PM => \(\frac{PI}{IB}=\frac{IN}{IA}\left(1\right)\)

Có AD//BC \(\Rightarrow\frac{DI}{IB}=\frac{IA}{IC}\left(2\right)\)

Từ (1)(2) => \(\frac{IN}{IA}=\frac{IA}{IC}\Rightarrow IA^2=IN\cdot IC\)

Xét \(\Delta PMC\) cắt tuyến BQ. Áp dụng Menelaus

\(\Rightarrow\frac{PQ}{QC}\cdot\frac{CB}{BM}\cdot\frac{MN}{NP}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{PQ}{QC}\cdot\frac{3}{1}\cdot\frac{2}{1}=1\Rightarrow\frac{PQ}{QC}=\frac{1}{6}\Rightarrow\frac{PQ}{PC}=\frac{1}{7}\)

Có \(S_{ABC}=S_{PBC}\Rightarrow S_{PBQ}=\frac{1}{7}S=\frac{S}{7}\)

Ta có: a = 4b + 1 

=> a + 7 = 4b + 1  + 7= 4b +  8 \(⋮\)b 

=> 8 \(⋮b\) và b là số tự nhiên 

=> b\(\inƯ\left(8\right)=\left\{1;2;4;8\right\}\)

+ b =  1=> a = 5 => a + 2b = 5 +2 .1 = 7 là số nguyên tố ( thỏa mãn )

+) b = 2 => a = 9 => a + 2b = 9 + 2 . 2 = 13 là số nguyên tố ( thỏa mãn )

+) b = 4 => a = 17 => a + 2b = 17 + 2.4 = 25 không là số nguyên tố ( loại )

+) b = 8 => a = 33 => a + 2b = 49 không là số nguyen tố ( loại )

Vậy có các cặp (a; b ) là ( 5; 1) và ( 9; 2).

a) 

Ta có: \(\widehat{NKE}=\widehat{KHE}+\widehat{E_1}\)(góc ngoài \(\Delta\)KHE)

\(\Delta\)AHE vuông tại E có: N là trung điểm AH => \(NE=NH=\frac{1}{2}AH\)

Tam giác NEH cân tại N => \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}=\widehat{KHE}\)

Mà \(\widehat{NKB}=\widehat{KHE}+\widehat{E_1}\)

\(\widehat{NED}=\widehat{NEH}+\widehat{E_2}\)

\(\Rightarrow\widehat{NEK}=\widehat{NED}\)

\(\Rightarrow\Delta\)NEK đồng dạng \(\Delta NED\)

=> \(\frac{NE}{ND}=\frac{KE}{ED}\)

Do E là phân giác \(\widehat{DEF}\)=> \(\frac{HK}{HD}=\frac{NH}{ND}\)(đpcm)

b) Định lý Ceva PD,MH,KB đồng quy khi \(\frac{MB}{BD}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=1\)

By: Đỗ Quang Thiều (refundzed)

Câu b) chi tiết hơn và sử dụng kiến thức lớp 9

Từ cái tỉ số ở câu đầu

Ta CM đc: \(MK//BH\)

\(\Leftrightarrow\widehat{FPK}=\widehat{MPB}=\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=\widehat{FDH}\)

Nên PFKD là tứ giác nội tiếp

Suy ra: \(\widehat{PDK}=\widehat{AFE}=\widehat{AHE}=\widehat{BHD}=\widehat{PKD}\)

Cho nên tam giác PKD cân tại P

=> PK=PD

Từ đây hiển nhiên PM=PK hay \(\frac{PK}{PM}=1\)

Xét tích: \(\frac{MB}{BD}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=\frac{HK}{DH}\cdot\frac{DH}{HK}\cdot\frac{KP}{PM}=1\)

Theo Ceva đảo thì đồng quy

(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40

<=> (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) - 40 = 0

<=> (x² + 6x + 5)(x² + 6x + 8) - 40 = 0

Đặt x² + 6x + 5 = a <=> a(a + 3) - 40 = 0

<=> a² + 3a - 40 = 0

<=> a² + 8a - 5a - 40 = 0

<=> (a + 8)(a - 5) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+8=0\\a-5=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2+6x+5+8=0\\x^2+6x+5-5=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2+6x+9+4=0\\x^2+6x=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}\left(x+3\right)^2+4=0\left(vn\right)\\x\left(x+6\right)=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+6=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-6\end{cases}}\) Vậy S  = {0; -6}