ĐK: x\(\ge0\). 

Đặt \(A=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

Đặt \(t=\sqrt{x}\)( t >=0)

Có: \(A=\frac{t}{t^2+t+1}\)

<=> \(At^2+\left(A-1\right)t+A=0\)(1)

TH1: A =0 => t =0

TH2: A khác 0.

(1) có nghiệm <=> \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(A-1\right)^2-4A^2\ge0\Leftrightarrow-3A^2-2A+1\ge0\Leftrightarrow-1\le A\le\frac{1}{3}\)

Do đó: A min = -1 thay vào tìm x

           A max = 1/3 thay vào tìm x .

Kết luận....

áp dụng bct cosy \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y;\)\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z;\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2x\)

=> 2A \(\ge2\left(x+y+z\right)=2=>A\ge1\)

Min A =1 khi x=y=z= 1/3

dk x+y\(\ne0\)

hệ <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(3x^3-y^3\right)=1\\x^2+y^2=1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}3x^4+3x^3y-xy^3-y^4=1\\x^2+y^2=1\end{cases}}< =>}\)

\(\hept{\begin{cases}2x^4+x^4-y^4+4x^3y-x^3y-xy^3=x^2+y^2\\x^2+y^2=1\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}2x^4+\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)+4x^3y-xy\left(x^2+y^2\right)=x^2+y^2\\x^2+y^2=1\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}2x^4+x^2-y^2-xy+4x^3y=x^2+y^2\\x^2+y^2=1\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}2x^4+4x^3y-xy-2y^2=0\\x^2+y^2=1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}\left(x+2y\right)\left(2x^3-y\right)=0\\x^2+y^2=1\end{cases}}}\)

giải từng hệ \(\begin{cases}x+2y=0\\x^2+y^2=1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x=\frac{-2}{\sqrt{5}}\\y=\frac{1}{\sqrt{5}}\end{cases};\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{\sqrt{5}}\\y=\frac{-1}{\sqrt{5}}\end{cases}}}\)(thỏa mãn x+y khác 0)

\(\hept{\begin{cases}2x^3-y=0\\x^2+y^2=1\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}y=2x^3\\x^2+4x^6-1=0\end{cases}}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}y=2x^3\\\left(x^2-\frac{1}{2}\right)\left(4x^4+2x^2+2\right)=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}y=2x^3\\x^2=\frac{1}{2}\end{cases}< =>}}\)\(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{2}}\\y=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases};\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{\sqrt{2}}\\y=\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{cases}}}\)( thỏa mãn x+y khác 0)

A=\(\sqrt[3]{1+3\sqrt{3}+3.1\left(\sqrt{3}\right)^2+3\sqrt{3}}-5\sqrt{3}\)

A= \(\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{3}\right)^3}-5\sqrt{3}\)

A= \(1+\sqrt{3}-5\sqrt{3}=1-4\sqrt{3}\)

Chuc ban hoc tot !!!

nhưng bạn ơi, bạn làm cách nào để ra được kết quả như thế, hay là bạn đoán hoặc dự cảm thế thôi

Đề bài là có vô số dâu căn nên ta có thể giải như sau:

\(\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}=x\)

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}=x^2\)

\(\Leftrightarrow x+2x=x^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\)