Nhân cả 2 vế với \(\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)\)ta được 25=5\(\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)\)

<=> \(\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)\)= 5 = \(\left(x-\sqrt{x^2+5}\right)\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)\)

khai triển và rút gọn ta được \(x\sqrt{y^2+5}=-y\sqrt{x^2+5}\)

Nếu x=y=0 => M=0

xét x;y khác 0

\(\frac{\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{y^2+5}}=\frac{-x}{y}\left(\frac{x}{y}< 0\right)\)<=>\(\frac{x^2+5}{y^2+5}=\frac{x^2}{y^2}=\frac{x^2+5-x^2}{y^2+5-y^2}=1=>\frac{x^2}{y^2}=1=>\frac{x}{y}=-1\left(\frac{x}{y}< 0\right).\)

hay x=-y => M= (-y)²⁰¹⁷ +y²⁰¹⁷ =0

vậy M=0

\(xy+2x+2y=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+2\right)+2\left(y+2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(y+2\right)=5=1.5=5.1=\left(-1\right).\left(-5\right)\)

\(=\left(-5\right).\left(-1\right)\)

Lập bảng:

a³+b³ =(a+b)(a²+b² -ab) \(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=a^2b+ab^2;\) 

tương tự a³ +c³ \(\ge a^2c+ac^2;b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\)

cộng 3 bdt với nhau ta được 2(a³ +b³+c³) \(\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)\)(chứng minh xong)

dấu '=' khi a=b=c

đề sai rồi

đặt AB=x

dễ chứng tam giác HBA và tam giác ABC đồng dạng => AB² =BH.BC <=> x² = 4BH => BH= \(\frac{x^2}{4}\)

pytago cho tam giác HAB : AB²= BH²+ AH² => AH² = x²- \(\frac{x^4}{16}\)=> AH = \(\frac{x}{4}\sqrt{16-x^2}\)

S_AIHK = HI.HK \(\le\frac{HI^2+HK^2}{2}=\frac{AH^2}{2}\)= \(\frac{x^2\left(16-x^2\right)}{32}\)

áp dụng ab\(\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)=> \(x^2\left(16-x^2\right)\le\frac{\left(x^2+16-x^2\right)^2}{4}=\frac{16^2}{4}\)

=> SAIHK \(\le\frac{16^2}{4.32}=2\)

Đạt được khi HI=HK và x²=16-x² => x=AB= 2\(\sqrt{2}\) 

HI=HK => ABC vuông cân ở A

Ta có \(\sqrt{3x^2+6x+7}=\sqrt{3\left(x+1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Dấu"=" xảy ra khi x=-1

Tương tự \(\sqrt{5x^2+10x+14}=\sqrt{5\left(x+1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}=3\)

Dấu"=" xảy ra khi x=-1

\(\Rightarrow4-2x-x^2\ge5\)

\(\Rightarrow-\left(x+1\right)^2+5\ge5\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2\le0\)

mà \(\left(x+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=0\Rightarrow x=-1\)(tm)

Vậy....................