a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

               AB là tia phân giác của góc HAD  

Suy ra: \(ˆ D A B = ˆ B A H\)

                  AC là tia phân giác của góc HAE

Suy ra: \(ˆ H A C = ˆ C A E\)

Ta có:\(ˆ H A D + ˆ H A E = 2 ( ˆ B A H + ˆ H A C ) = 2. ˆ B A C = 2.90 ^∘ = 180 ^∘\)

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

\(\hept{\begin{cases}x+y=1006\\x-2y=124\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left\{x+y=1006,x-2y=124\right\}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1006,x=2\left(y+62\right)\\y=1006-x,y=\frac{x}{2}-62\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=712\\y=294\end{cases}}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất, thứ hai nếu làm riêng lần lượt là a,b(a,b>0)a,b(a,b>0) ngày

→→Mỗi ngày người thứ nhất làm được 1a1a phần công việc, người thứ hai làm được 1b1b phần công việc

Vì người thứ nhất làm 1212 công việc và người thứ hai làm 1−12=121−12=12 công việc thì toàn bộ công việc sẽ được hoàn thành trong 99 ngày

→12a+12b=9→12a+12b=9

Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 44 ngày

→4(1a+1b)=1→4(1a+1b)=1

Theo bài ra ta có:

⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩12a+12b=94(1a+1b)=1{12a+12b=94(1a+1b)=1

→{a+b=184(1a+1b)=1→{a+b=184(1a+1b)=1

→⎧⎨⎩b=18−a4(1a+118−a)=1→{b=18−a4(1a+118−a)=1

→{b=18−aa∈{6,12}→{b=18−aa∈{6,12}

→(a,b)∈{(6,12),(12,6)

Gọi khả năng làm việc trong 1 ngày của công nhân 1 là: \(a\)

Gọi khả năng làm việc trong 1 ngày của công nhân 2 là \(b\)

Ta có :

\(4a+4b=1\Rightarrow a+b=\frac{1}{4}\left(1\right)\)và \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=9\Rightarrow a+b=18ab\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}=18ab\Rightarrow ab=\frac{1}{72}\)

\(\Rightarrow a\left(\frac{1}{4}-a\right)=\frac{1}{72}\)

\(\Rightarrow a^2-\frac{a}{4}+\frac{1}{72}=0\)

\(\Leftrightarrow a=\frac{1}{6}\Rightarrow b=\frac{1}{12}\)hay \(a=\frac{1}{12}\Rightarrow b=\frac{1}{6}\)

Một ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{6}\)công việc 

ông việc, nên để hoàn thành công việc người thứ nhất cần 6 ngày. 

Vậy nếu làm riêng thì một người làm xong trong 12 ngày, một người làm xong trong 6 ngày.

ĐK : \(-2\le x\le3\)

Ta có : \(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+2}-2\right)+\left(1-\sqrt{3-x}\right)=x^2-6x+8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+2\right)-4}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1-\left(3-x\right)}{1+\sqrt{3-x}}-\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{1+\sqrt{3-x}}+4-x\right]=0\)

Do \(-2\le x\le3\)\(\Rightarrow4-x>0\)nên biểu thức trong dấu ngoặc thứ 2 dương.

Do đó : \(x-2=0\)\(\Leftrightarrow x=2\)

\(\frac{1}{4x^2}=x^2\left(ĐK:x\ne0\right)\)

Đặt \(x^2=v\)đk : v > 0

Thay v vào phương trình ta được :

\(\frac{1}{4v}=v\)

\(\Leftrightarrow v^2=\frac{1}{4}\)

< = > \(v=\frac{1}{2}\)hoặc \(v=-\frac{1}{2}\left(lọai\right)\)

\(\Leftrightarrow v=\frac{1}{2}=x^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)hoặc \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)