a) Áp dụng định lý Pytago ta có: 

\(BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2=400\Rightarrow BC=20\left(cm\right)\)

b) Áp dụng tính chất tia phân giác ta có: \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{BD}{12}=\dfrac{CD}{16}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{BD}{12}=\dfrac{CD}{16}=\dfrac{BD+CD}{12+16}=\dfrac{BC}{28}=\dfrac{20}{28}=\dfrac{5}{7}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\\CD=\dfrac{80}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

c) Ta có: \(\dfrac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ACD}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{3}{4}\)

\(A=15x^3-6x^2-3x\)

\(B=2x^3-3x-5x^3-x^2+x^2=-3x^3-3x\)

.

ko bít

Ta chứng minh BDT \(2xy\le x^2+y^2\). Thật vậy, BDT này \(\Leftrightarrow0\le x^2-2xy+y^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BDT phụ được cm. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\) 

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC, BD. Áp dụng BDT phụ, ta có \(2OA.OB\le OA^2+OB^2\) (1)

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên 2 đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại O. Theo định lý Py-ta-go, ta có \(OA^2+OB^2=AB^2\)

Mặt khác tứ giác ABCD là hình thoi nên \(AB=AD\Rightarrow AB^2=AB.AD\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2OA.OB\le AB.AD\)  \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.2OA.2OB\le AB.AD\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}.2OA.2OB\le AB.AD\) \(\Leftrightarrow S_{ABCD}\le AB.AD\)

b) Câu này quá đơn giản rồi. Vì \(AB=AD=a\) nên từ câu a ta có \(S_{ABCD}\le a^2\)

c) Khi \(S_{ABCD}\) đạt GTLN thì theo câu a, dấu "=" sẽ xảy ra khi \(OA=OB\) hay \(AC=BD\), đồng nghĩa với việc 2 đường chéo AC, BD của hình thoi ABCD bằng nhau hay tứ giác ABCD là hình vuông.

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta CDB\) , ta có :

 AD = CD ( D là trung điểm AC )

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDB}\) ( 2 góc đối đỉnh )

DE = DB ( đề bài cho )

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta CDB\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{DCB}\)

Mà \(\widehat{DAE}\) và \(\widehat{DCB}\) ở vị trí sole trong

\(\Rightarrow AE//BC\)