Gọi O là trung điểm BC, J là trung điểm DE. Do tam giác BEC vuông tại E mà EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OE = OB = OC. Tương tự OD = OB = OC. Từ đó ta có OE = OD hay tam tam giác OED cân tại O.

Lại có J là trung điểm DE nên \(OJ\perp DE\). Vậy thì OJ // BI // CK. Mà O là trung điểm BC nên OJ là đường trung bình hình thang CBKI. Vậy thì JI = JK.

Ta có \(JI=JK\Rightarrow JI-JE=JK-JD\Rightarrow EI=DK\left(đpcm\right)\)

khó thế !

a) Đặt A=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 
= (x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-24 
= (x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24 
Đặt x^2+7x+11 = a thay vào A ta được : 
A=(a-1)(a+1)=a^2-25 = a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5) ( 2) 
Thế a vào (2) ta được : 
A=(x^2+7x+11-5)(x^2+7x+11+5) 
= (x^2+7x+6)(x^2+7x+16) 

b)  = (x²+8x+7)(x²+8x+15)+15

        Đặt X=x²+8x+11

   f(x) = (X-4)(X+4)+15

         = X²-16+15

         = X²-1²

         = (X-1)(X+1)

=> f(x)= (x²+8x+11-1)(x²+8x+11+1)

     f(x) = (x²+8x+10)(x²+8x+12)

Đến đây là vẫn còn phân tích được nhưng không dùng phương pháp đặt biến phụ:

     f(x) = (x²+8x+10)(x²+8x+12)

           = (x²+8x+10)[(x²+2x)+(6x+12)]

           = (x²+8x+10)[x(x+2)+6(x+2)]

           = (x+2)(x+6)(x²+8x+10)

   d)  2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x³ + x² - 5x - 4)

Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có một nhân tử là x+1  nên 2x³ + x² - 5x - 4 = (x+1)(2x²-x-4)

Vậy 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8  = (x-2)(x+1)(2x²-x-4)

  a) \(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)-24\)

 \(=\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right].\left[x\left(x+1\right)\right]=24\)

 \(=\left(x^2+2x-x-2\right)\left(x^2+x\right)=24\)

 \(=\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x\right)=24\)

 \(=\left[\left(x^2+x-1\right)-1\right].\left[\left(x^2+x-1\right)+1\right]=24\)

 \(=\left(x^2+x-1\right)^2-1=24\)

 \(=\left(x^2+x-1\right)^2=25\)

   xin lỗi mk chỉ làm được đến đây thôi cậu làm tiếp nhé

Gọi AJ là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC. Đường thẳng qua N song song AB cắt BC tại P.

Đường thẳng qua C song song AB cắt đường thẳng qua M song song BC và AJ lần lượt tại Q,R.

Ta thấy \(\Delta\)MAN có đường cao AI đồng thời là đường phân giác nên \(\Delta\)MAN cân tại A

=> I cũng là trung điểm cạnh MN. Từ đó \(\Delta\)MBI = \(\Delta\)NPI (g.c.g) => NP = BM; ^INP = ^IMB

Mà NP // BM // CQ, BM = CQ nên NP // QC, NP = QC => Tứ giác NPQC là hình bình hành

Nếu ta gọi K là trung điểm PC thì N,K,Q thẳng hàng

Chú ý rằng \(\Delta\)NPC ~ \(\Delta\)ABC (g.g) với trung tuyến tương ứng NK,AJ => \(\Delta\)NPK ~ \(\Delta\)ABJ (c.g.c)

=> ^PNQ = ^PNK = ^BAJ. Kết hợp với ^INP = ^IMB (cmt) suy ra ^MNQ = ^INP + ^PNQ = ^BAJ + ^IMB (1)

Mặt khác: \(\Delta\)ABJ = \(\Delta\)RCJ (g.c.g) => AB = CR < AC => ^BAJ = ^CRJ > CAJ

Điều đó có nghĩa là ^BAJ > ^BAC/2 = ^BAI => ^BAJ + ^IMB > ^BAI + ^IMB = 90⁰  (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^MNQ > 90⁰ => MQ là cạnh lớn nhất trong \(\Delta\)QMN => MN < MQ = BC

Vậy MN < BC.

TH1: M nằm giữa A và B

  

kẻ MQ_|_ DC tại Q

FN_|_DC tại N

EH_|_DC tại H

ta có E là trung điểm của BD; F là trung điểm của AC

=> EF là đuờng trung bình ứng với cạnh DC

=> EF//DC

ta có MQ_|_DC tại Q mà EF//DC

=> MQ_|_EF tại R

ta có: EH_|_DC

FN_|_DC 

MQ_|_DC

MK_|_DC

=> EH//FN//MQ//MK

ta có góc MFE= góc FKD(MK chung và EF//NK)

 xét 2 tam giác vuông MFR và FKN có:

FM=FK(gt)

 góc MFE= góc FKD(cmt)

=> tam giác FMR=tam giác FKN(CH-GN)

=> RF=NK(1)

ta có góc MEF=góc EHC( do MH chung và EF//DC)

xét 2 tam giác vuông MER và EHP có:

góc MEF= góc EHC(cmt)

ME=EH(gt)

=> tam giác MER= tamgiác EHP(CH-GN)

=> ER=HP(2)

ta có: EF//PN

EH//FN

=> EF=HN(3)

từ (1)(2)(3) =>

EF=HN

RF=NK

ER=HP

ta có : HK=HP+PN+NK=ER+RF+EF=EF+EF

=>HK=2EF

 TH2:M trùng A=> AC trùng MK=> C trùng K

M trùng A nên ME cũng trùng MH

kẻ FP//EH ( P thuộc DC)

xét tam giác EAB và tam giác EHD có':

góc AEB= góc DEH(2 góc đối đỉnh)

ED=EB(gt)

góc  BAE= góc EHD( AB//CD)

=> tam giác EAB= tam giác EHD(g.c.g)

=> AE=EH=1/2AH

ta có: E là trung điểm của AH; F là trung điểm của AC

=> EF là đường trung bình của tam giác AHC

=> EF//DC

EH//FP

=>tứ giác EFPH là hình bình hành

=> EH=FP

xét tam giác AEF và tam giác FCPcó:

AF=FC(gt)

góc AFE= góc FCP(EF//DC)

EH=FP(cmt)

=> tam giác AEF= tam giác FCP(c.g.c)

=>EF=PC

mà EF=HP( do tứ giác EFPH là hình bình hành)

=> EF=HP=PK

ta có: HK=HP+PK=EF+EF=2EF

TH3:M trùng B=>BD trùng MH và BF trùng MK

kẻ EP // FK

xét tam giác FBA và tam giác FKC có:

FA=FC(gt)

góc AFB= góc KFC( 2 góc đối đỉnh)

góc BAF= góc KCF( AB//CD)

=> tam giác FBA= tam giác FKC(g.c.g)

=> FB=FK

ta có E là trung điểm của BD ; F là trung điểm của BK

=> EF là đường trung bình của tam giác BDK

=> EF//PK

mà EP//FK

=> EF=PK và EP=FK

ta có: EF//DP

BF//EP

=> góc EBF= góc DEP

xét tam giác BEF và tam giác EDP có:

ED=EB(gt)

góc BEF= góc EDP(EF//DC)

góc DEP= góc EBF(cmt)

=> tam giác BEF= tam giác EDP(g.c.g)

=> DP=EF và bằng PK

ta có: HK=(hay DP)HP+PK=EF+EF

=> HK=2EF

từ 3 trường hợp nêu trên =>  nếu M nằm giữa AB, M trùng A hoặc M trùng B thì độ dài của HK vẫn không đổi và luôn bằng 2EF

vậy độ dài của HK không đổi và luôn bằng 2EF khi M di động trên AB

vì HK luôn bằng 2EF nên độ dài k đổi khi M di động trên AB

\(a^7-a=a\left(a^6-1\right)=a\left(a^3+1\right)\left(a^3-1\right)\) 

Rồi sao nữa ?

Với a, b  thuộc Z và không chia hết cho 7

Theo định lí fecmat:  \(a^6\equiv1\left(mod7\right)\); \(b^6\equiv1\left(mod7\right)\)(1)

Đặt: \(a^6=u;b^6=v\)

Ta có: \(a^{42}-b^{42}=u^7-v^7=\left(u-v\right)\left(u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6\right)\)

Từ (1) => \(u-v\equiv1-1\equiv0\left(mod7\right)\)=> \(u-v⋮7\)

và  \(u^6;u^5v;u^4v^2;u^3v^3;u^2v^4;uv^5;v^6\equiv1\left(mod7\right)\) 

\(\Rightarrow u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6\equiv1+1+1+1+1+1+1\equiv7\equiv0\left(mod7\right)\)

=> \(u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6⋮7\)

=> \(\left(u-v\right)\left(u^6+u^5v+u^4v^2+u^3v^3+u^2v^4+uv^5+v^6\right)⋮49\)

Vi tu giac ABCD co ^A = ^C = 90^o => ^B + ^D = 180^o

Kẻ phân giác DF , BE

Xét \(\Delta BEC\)vuông tại C nên \(\widehat{CBE}+\widehat{CEB}=90^o\)

\(\Rightarrow2\left(\widehat{CBE}+\widehat{CEB}\right)=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CBA}+2\widehat{CEB}=180^o\)

Tuong tu \(\widehat{CDA}+2\widehat{AFD}=180^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{CBA}+\widehat{CDA}\right)+2\left(\widehat{CEB}+\widehat{AFD}\right)=360^o\)

\(\Leftrightarrow180^o+2\left(\widehat{CEB}+\widehat{AFD}\right)=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{CEB}+\widehat{AFD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CBE}=\widehat{AFD}\)(Cùng phụ \(\widehat{CEB}\))

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{AFD}\)(Phan giac)

\(\Rightarrow FD//\left(h\right)\equiv BE\left(dpcm\right)\)

Cảm ơn bạn Dương đã giúp mình làm nha!

Xét tứ giác AOBC₁ có: hai đường chéo AB và OC₁ cắt nhau tại trung điểm P mỗi đường  chéo

=>AOBC₁  là hình bình hành

=>  AC₁//=OB  (1)

Xét tứ giác OBA₁C có hai đường chéo OA₁và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường chéo.

=>  OBA₁C là hình bình hành

=> OB//=A₁C (2)

Từ (1), (2) => AC₁//=A₁C

=> AC₁A₁C là hình bình hành.

=> AA₁ và CC₁ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

Chứng minh tương tự:

BC₁//=AO//=B₁C

=> BC₁B₁C là hình bình hành

=> BB1 và CC1 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

=> AA1; BB1; CC1 đồng quy.

\(x^3+3xy+y^3-1=\left(x^3+y^3\right)+\left(x^2+2xy+y^2-1\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)+\left(x+y-1\right)\left(x+y+1\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2+x+y+1\right)\)

\(x^3+3xy+y^3-1\)

\(=\left(x+y\right)^3-1-3x^2y-3xy^2+3xy\)

\(=\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2+2xy+x+y+1-3xy\right)\)

\(=\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)\)

Ta có 1+c²=ab+bc+ca+c²=(a+c)(b+c)

Tương tự 1+a²=(a+b)(a+c)

                 1+b²=(a+b)(b+c)

Suy ra \(\frac{a-b}{1+c^2}=\frac{a-b}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{1}{c+b}-\frac{1}{c+a}\)

            \(\frac{b-c}{1+a^2}=\frac{b-c}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\)

              \(\frac{c-a}{1+b^2}=\frac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a-b}{1+c^2}+\frac{b-c}{1+a^2}+\frac{c-a}{1+b^2}=\frac{1}{c+b}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}=0\)