Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)

Để M là số nguyên thì 12n² + 1  là số chính phương lẻ 
Đặt 12n² + 1 = (2k -1)²   (k \(\in\) N)

<=> 12n² + 1 = 4k² - 4k +1

<=> 12n² = 4k² - 4k 

<=> 3n² = k(k - 1)

=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3

TH1 : k ⋮ 3 => n² =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1)     Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x² => k = 3x²

  và đặt k - 1 = y² => k = y² +1

  => 3x² = y² + 1 = 2 ( mod 3)

  Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1

TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :

  => n² = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\)     Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z² 

=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z² =(2z)² là 1 số chính phương 

 => M là một số chính phương ( đpcm )

\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)

\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)

\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)

TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)

Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)

Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)

Ta có đpcm

TH2(tương tự):\(k=3q+1\)

Ta có \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}=k^2\Leftrightarrow2n^2-n-26k^2=0\)

\(\Delta=208k^2+1=t^2\)(vì n nguyên dương)

\(\Rightarrow\left(t+4\sqrt{13}k\right)\left(t-4\sqrt{13}k\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t+4\sqrt{13}k=1\\t-4\sqrt{13}k=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k=0\\t=1\end{cases}}}\)

Thế vào tìm được \(\orbr{\begin{cases}n=0\\n=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy không có giá trị n nguyên dương nào thỏa mãn cái đó

\(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}\text{ là SCP }\Leftrightarrow n\left(2n-1\right)=26k^2\)

\(\Delta_n=208k^2+1=y^2\Leftrightarrow y^2-208k^2=1\underrightarrow{\text{PELL}}\)

\(k=\pm\frac{\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m}{8\sqrt{13}}\)

\(n=\frac{1}{8}\left[-\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m+2\right]\left(m\inℤ,m\ge0\right)\)

Dùng hình của bạn Ngọc nhé

a) \(\Delta ABC\)đều có \(\widehat{BAC}=60^0;\)đường cao AD cũng là phân giác và trực tâm H cũng là trọng tâm

I là trung điểm của cạnh huyền chung AM của các tam giác vuông \(\Delta AEM,\Delta AFM,\Delta ADM\)nên \(IA=IE=ID=IF=\frac{AM}{2}\)(1)

\(\widehat{EIM}\)là góc ngoài của \(\Delta AIE\)cân tại I nên \(\widehat{EIM}=2\widehat{BAM}\). Tương tự, \(\widehat{MID}=2\widehat{MAD};\widehat{MIF}=2\widehat{MAC}\)

\(\widehat{EID}=\widehat{EIM}+\widehat{MID}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAD}\right)=2\widehat{BAD}=\widehat{BAC}=60^0\)

\(\widehat{EIF}=\widehat{EIM}+\widehat{MIF}=2\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}\right)=2.60^0=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DIF}=120^0-60^0=60^0\)

\(\Delta EDI\)cân tại I có \(\widehat{EID}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra EI = ED (2)

\(\Delta FDI\)cân tại I có \(\widehat{DIF}=60^0\)nên là tam giác đều, suy ra FI = FD (3)

(1),(2),(3) => IE = ED = DF = IF => DEIF là hình thoi

b) Gọi P là trung điểm AH thì \(AP=PH=\frac{AH}{2}=HD\)

Cho ID cắt EF tại K thì K là trung điểm ID (tính chất hình thoi ABCD)

\(\Delta AMH\)có IP là đường trung bình nên IP // MH (4)

\(\Delta DPI\)có KH là đường trung bình nên IP // KH (5)

(4),(5) => M,K,H thẳng hàng. Vậy MH, ID, EF đồng quy tại K

a) 

Xét tứ giác BCDE có:      \(BEC=BDC=90\left(gt\right)\)

=> BDCE là tứ giác nội tiếp

=> góc ABD = góc ACE.

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: 

Chung góc BAD

ADB = AEC = 90 độ

góc ABD = góc ACE (cmt)

=> tam giác ABD đồng dạng tam giac ACE (gg).

b) Xét tam giác AGC có: AGC = 90 độ; ACG = 50 độ

=> góc GAC = 50 độ

Xét tứ giác ADME có: \(AEM=ADM=90\Rightarrow AEM+ADM=180\)

=> Tứ giác ADME nội tiếp.

=> góc MAD = góc MED (Tính chất)

=> góc MED = 40 độ

Mà góc AEM = 90 độ (gt)

=> góc AED = 90 - 40 = 50 (độ)

Ta có : \(4x-5y-6xy-7=0\)

\(\Leftrightarrow12x-15y-18xy-21=0\)

\(\Leftrightarrow\left(12x-18xy\right)-15y-21=0\)

\(\Leftrightarrow6x.\left(2-3y\right)+5.\left(2-3y\right)-31=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-3y\right)\left(6x+5\right)=31\)

Do \(x,y\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}2-3y\inℤ\\6x+5\inℤ\end{cases}}\)

Nên \(2-3y,6x+5\) là cặp ước của \(31\).

Ta có bảng sau :

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-6,1\right);\left(-1,11\right)\right\}\) thỏa mãn đề.

a) (2x-5)y+2y-10=0  <=>  2xy-3y = 10  <=>  y(2x-3)=10  <=>  y=\(\frac{10}{2x-3}\) với y là số nguyên 

=> 2x-3 là ước của 10 

ta có bảng sau

b)

3xy + 21x-y-11=0  <=>  y(3x-1)=-(21x-11) <=>  -y=\(\frac{21x-11}{3x-1}\) =\(\frac{7\left(3x-1\right)-4}{3x-1}\)=7-\(\frac{4}{3x-1}\)với -y nguyên nên 3x-1 là ước của 4

a) ( 2x - 5 )y + 2y - 10 = 0

<=> 2xy - 5y + 2y - 10 = 0

<=> 2xy - 3y - 10 = 0

<=> y( 2x - 3 ) - 10 = 0

<=> y( 2x - 3 ) = 10

Ta có bảng sau :

Vì x , y nguyên nên các cặp ( x ; y ) = { ( 2 ; 10 ) , ( 1 ; -10 ) , ( 4 ; 2 ) , ( -1 ; -2 ) }

b) 3xy + 21x - y - 11 = 0

<=> 3x( y + 7 ) - 1( y + 7 ) - 4 = 0

<=> ( 3x - 1 )( y + 7 ) - 4 = 0

<=> ( 3x - 1 )( y + 7 ) = 4

Ta có bảng sau :

Vì x, y nguyên nên các cặp ( x ; y ) = { ( 0 ; -11 ) , ( 1 ; -5 ) , ( -1 ; -8 ) }

Đặt \(A=x^2+15y^2+xy+8x+y+2020\)

\(\Rightarrow4A=4x^2+60y^2+4xy+32x+4y+8080\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+59y^2+32x+4y+8080\)

\(=\left(2x+y\right)^2+16.\left(2x+y\right)+64+59y^2+4y-16y+8016\)

\(=\left(2x+y+8\right)^2+59y^2-12y+8016\)

\(=\left(2x+y+8\right)^2+59\cdot\left(y^2-\frac{59}{12}y\right)+8016\)

\(=\left(2x+y+8\right)^2+59\cdot\left(y^2-2\cdot y\cdot\frac{59}{24}+\frac{59^2}{24^2}-\frac{59^2}{24^2}\right)+8016\)

\(=\left(2x+y+8\right)^2+59\cdot\left(y-\frac{59}{24}\right)^2+7659,439236\ge7659,439236\)

\(\Rightarrow A\ge1914,859809\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow y=\frac{59}{14};x=-\frac{171}{28}\)

P/s : Bài này hơi xấu .....

Đặt \(A=x^2+15y^2+xy+8x+y+2020\)

Ta có: \(A=x^2+x\left(y+8\right)+15y^2+y+2020=\left(x^2+x\left(y+8\right)+\frac{\left(y+8\right)^2}{4}\right)\)\(+\left(15y^2+y-\frac{\left(y+8\right)^2}{4}\right)+2020=\left(x+\frac{y+8}{2}\right)^2+\frac{59y^2-12y-64}{4}+2020\)\(=\left(x+\frac{y+8}{2}\right)^2+\frac{59\left(y-\frac{6}{59}\right)^2-\frac{3812}{59}}{4}+2020\ge\frac{\frac{-3812}{59}}{4}+2020=\frac{118227}{59}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y-\frac{6}{59}=0\\x=-\frac{y+8}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-239}{59}\\y=\frac{6}{59}\end{cases}}\)